2020-2021学年第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用导学案

这是一份2020-2021学年第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用导学案，共12页。学案主要包含了连续运用均值不等式求最值，利用均值不等式比较大小，与其他知识的交汇等内容，欢迎下载使用。

提升课　均值不等式
均值不等式≤(a>0，b>0)的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有连续运用均值不等式求最值、求变量的取值范围、比较大小，另外均值不等式也常和其他知识交汇考查．
一、连续运用均值不等式求最值
例1　已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解　由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋的最小值为4.
反思感悟　多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法．
跟踪训练1　已知a>0，b>0，求＋＋2的最小值．
解　∵a>0，b>0，
∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
二、利用均值不等式求参数的值或取值范围
例2　已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．
答案　36
解析　4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即x＝＝3时，等号成立，
∴a＝36.
反思感悟　求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
跟踪训练2　已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
答案　B
解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
所以要使＋≥恒成立，
只需m≤(2a＋b)恒成立，
而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
所以m的最大值为9.
三、利用均值不等式比较大小
例3　已知0 A．P>Q>M B．M>P>Q
C．Q>M>P D．M>Q>P
答案　B
解析　因为0，
又因为<<＝，
故M>P>Q.
反思感悟　运用均值不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形．
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练3　(多选)设a，b为非零实数，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≥ab B.≥2
C.≥ D.＋≥2
答案　AB
解析　由a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，可知A正确；
＝＝≥＝＝2，当且仅当a＝b时等号成立，可知B正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，
右边为＝－，可知C不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知D不正确．
四、与其他知识的交汇
例4　设y＝ax2－4x＋c(x∈R)的最小值为0，则＋的最小值为(　　)
A．3 B. C．5 D．7
答案　A
解析　由题意知a>0，二次函数y＝ax2－4x＋c的图像与x轴有两个相同的交点，则Δ＝16－4ac＝0，
所以ac＝4，c>0.则＋≥2×＝3，
当且仅当＝，即a＝6，c＝时取等号，则＋的最小值是3.
反思感悟　
对于均值不等式和其他知识交汇问题，一般以其他知识为载体，通过对所给条件(其他知识)研究，得到一个等式，在此条件下利用均值不等式解决问题．
跟踪训练4　若点A(－2，－1)在函数y＝－x－的图像上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4 C. D.
答案　D
解析　点A(－2，－1)在函数y＝－x－的图像上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以＋的最小值为.

1．知识清单：
(1)连续运用均值不等式求最值．
(2)利用均值不等式求参数的值或取值范围．
(3)利用均值不等式比较大小．
(4)均值不等式与其他知识的交汇问题．
2．方法归纳：消元法、换元法、拼凑法、“1”的代换等．
3．常见误区：在同一个题目多次使用均值不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致．

1．已知0 A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
答案　D
解析　∵0 ∴a2＋b22ab(a≠b)，
∴2ab 又∵a＋b>2(a≠b)，∴a＋b最大．
2．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案　A
解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．当x>－1时，y＝有(　　)
A．最小值 B．最大值4
C．最小值 D．最大值
答案　D
解析　因为x>－1，所以y＝＝≤＝，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，
即y＝有最大值.
4．已知点P(x，y)在一次函数y＝－4x＋2的图像上运动，则它的横纵坐标之积取得最大值时，点P的坐标为(　　)
A．(1，－2) B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知y＝－4x＋2，所以4x＋y＝2，xy取到最大值时，一定是x>0，y>0，所以4x＋y≥2.
所以xy≤，当且仅当4x＝y，
即x＝，y＝1时取等号．
∴当xy＝时，P.
5．已知x>0，y>0，＋＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是________．
答案　m≤9
解析　因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，
当且仅当＝，
即时，等号成立，
所以不等式x＋y≥m恒成立，只需m≤9.


1．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n的大小关系是(　　)
A．m>n B．m C．m＝n D．不确定
答案　A
2．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　∵ab＝1，
∴m＋n＝b＋＋a＋＝a＋b＋＝2(a＋b)≥4＝4.
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故选B.
3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D．a2＋b2≥8
答案　D
4．若x>0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是(　　)
A．a>80 B．a<80 C．a>90 D．a<90
答案　B
解析　因为x>0，由均值不等式x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时，取等号，
要使得x＋≥a恒成立，则a≤4，
所以x＋≥a恒成立的一个充分条件是a<80.
5．若x>4，则y＝(　　)
A．有最大值10 B．有最小值10
C．有最大值6 D．有最小值6
答案　B
解析　因为x>4，所以x－4>0，
所以y＝＝＝(x－4)＋＋4≥2＋4＝10，
当且仅当x－4＝，即x＝7时，等号成立．
即y＝有最小值10，无最大值．
6．(多选)下列函数中最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝|x|＋
C．y＝＋
D．y＝x＋(x>－2)
答案　BD
解析　当x<0时，y＝x＋<0，A错；
|x|>0，y＝|x|＋≥2＝2，
当且仅当|x|＝，即|x|＝1时等号成立，B正确；
同理y＝＋≥2，但＝时，等号才能成立，而＝无解．故2取不到，C错；
x>－2，则x＋2>0，y＝x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＋2＝，即x＝0时等号成立，D正确．
7．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则x2＋4y2＋2xy的最小值为________．
答案　
解析　由x＋2y＝1，可得1＝x＋2y≥2，
∴2xy≤，
则x2＋4y2＋2xy＝(x＋2y)2－2xy≥1－＝，
当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时等号成立．故x2＋4y2＋2xy的最小值为.
8．若对∀x>－1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　a≤0
解析　因为x>－1，所以x＋1>0，
则x＋－1＝x＋1＋－2
≥2－2＝2－2＝0，
当且仅当x＋1＝，
即x＝0时等号成立，
由题意可得a≤min＝0，即a≤0.
9．已知a>b>c，你能比较出4与(a－c)的大小吗？
解　(a－c)≥4，
理由如下：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，
所以[(a－b)＋(b－c)]
＝2＋＋，
又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＋≥2，
故(a－c)≥4，
当且仅当＝，即a＋c＝2b时，取“＝”．
10．已知实数a，b满足0 (1)若a＋b＝1，求的最小值；
(2)设0 解　已知实数a，b满足0 (1)若a＋b＝1，＝＝＝4＋＋＋1≥4＋4＋1＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故最小值为9.
(2)∵00,12－m>0，
∵m＋(12－m)＝12，
∴＋＝1，
∴＋＝
＝＋＋≥＋＝，
当且仅当＝，即m＝6时，等号成立，
∴＋的最小值为.



11．若x>0，y>0，x＋y＝1，且＋>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<3 B．m<6
C．m<5 D．m<9
答案　C
解析　因为x>0，y>0，所以>0，>0，
又因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
因为＋>m恒成立，所以m 所以实数m的取值范围是m<5.
12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案　D
解析　a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，a>0，b>0，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
13．设x>0，y>0，不等式＋＋a≥0有解，则a的取值范围是________．
答案　[－，＋∞)
解析　因为x>0，y>0，所以＋＋a≥0有解，等价于－a≤有解，则－a应小于或等于的最大值．
因为＝＝1＋≤2，
当且仅当x＝y时取等号，所以－a≤，所以a≥－.
14．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
答案　4
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵(x＋y)1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，
∴a≥4，即正实数a的最小值为4.

15．若正数a，b满足a＋b≤4，则下列各式中恒正确的是(　　)
A.≥ B.＋≥1
C.≥2 D.≥16－2ab
答案　B
解析　∵a>0，b>0，a＋b≤4,0 当且仅当a＝b＝2时等号成立，
∴0 ∴≥，可取到，故A错误；
∵a＋b≤4，∴＋≥(a＋b)＝
≥＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；
由上知≤2，故C错误；
由a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≤16－2ab，
∴≥，取a＝b＝1，＝<16－2ab＝14，≥16－2ab不成立，故D错误．故选B.
16．已知x，y是正数，且满足x＋2y＋xy＝30.
(1)求xy的最大值及此时的x，y值；
(2)求x＋y的最小值及此时的x，y值．
解　(1)∵x＋2y＋xy＝30，∴y＝，
由于x，y是正数，则x>0且>0，可得0 ∴xy＝＝＝
＝32－x－＝34－(x＋2)－＝34－≤34－2＝18，
当且仅当x＋2＝，即时，等号成立，∴xy的最大值为18.
(2)x＋y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝(x＋2)＋－3≥2－3＝8－3，
当且仅当x＋2＝，即时，等号成立，所以x＋y的最小值为8－3.