数学浙教版2.2 等腰三角形同步测试题

这是一份数学浙教版2.2 等腰三角形同步测试题，共19页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
2.2等腰三角形同步优生辅导训练

一．选择题
1．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或35° C．25°或40° D．40°
2．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
4．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
5．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，若△ABC是等腰三角形，这样点C最多可画（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）

A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
7．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（　　）
A．80° B．50° C．65° D．45°
二．填空题
8．已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°，则等腰△ABC底角的度数为 　 　．
9．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为　 　．
10．如图：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB过于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是　 　．

11．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为　 　．
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是　 　．

13．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB边上一点，若△ACD是等腰三角形，则∠BCD的度数为　 　．
14．有一个三角形纸片ABC，∠C＝36°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是　 　．

15．在△ABC中，AB＝AC，BD是高．若∠ABD＝40°，则∠C的度数为　 　．
16．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角是　 　．
三．解答题
17．若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0
（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．

20．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+b2﹣8b+16＝0．
（1）试求a，b的值；并求第三边c的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长；
（3）若另一等腰三角形△DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°，试求此三角形的各内角度数．
21．如图所示，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是角平分线，CD⊥AE于D，可得CD＝AE，请说明理由．

22．已知等腰三角形ABC一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长．
23．已知一个等腰三角形的三边长分别为x、2x、5x﹣3，求这个三角形的周长．
24．如图，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数．

25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．

26．已知等腰三角形的周长是16cm，若其中一边长为6cm，求另外两边的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上两点，AD＝AE．求证：BE＝CD．

28．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）

29．如图，已知△ABC，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动．一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．

30．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．

31．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD．


参考答案
1．解：当50°为底角时，

∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，

∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
2．解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．

3．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
4．解：设∠C＝x．
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB＝45°+x，
在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，
∴45°+45°+x+2x＝180°，
∴x＝30°，
∵∠EDC＝90°，DE＝2，
∴AE＝EC＝2DE＝4，
故选：D．
5．解：∵△ABC是等腰三角形，
当AB＝AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，与格点有3个交点，
当BA＝BC，以B为圆心，AB为半径画圆，与格点共有3个交点，
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线，与格点由2个交点，
∴点C共有3+3+2＝8个．
故选：D．
6．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
7．解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；
当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；
当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；
∴∠A的度数不可能是45°，
故选：D．
8．解：①DE与线段AC相交时，如图1，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°；
②DE与CA的延长线相交时，如图2，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝180°﹣50°＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．
故答案为：65°或25°．

9．解：当为锐角时，如图
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：50°或130°．

10．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，如图．
∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BF＝FC＝BC＝6，
∴△ABF中，AF＝8，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴×12×8＝×10×PD+×10×PE，
∴48＝×10×（PD+PE），
PD+PE＝．
故答案为．

11．解：如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°．
故答案为：70°．

12．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，
∴∠EDB＝20°，
∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝70°，
∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，
∴∠EDP2＝140°，
当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，
故答案为：40°或100°或140°．

13．解：如图，

当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝20°．
当CD′＝AD′时，∠D′CA＝∠A＝40°，
∴∠BCD′＝90°﹣40°＝50°，
故答案为20°或50°．
14．解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝72°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣72°＝108°，
AB＝AD时，∠ABD＝108°（舍去）；
或AB＝BD，∠A＝108°（舍去）；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝36°；
②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣36°＝144°，
AB＝AD时，∠ABD＝144°（舍去）；
或AB＝BD，∠A＝144°（舍去）；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝18°；
③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝108°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣108°＝72°，
AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝36°；
或AB＝BD，∠A＝72°；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝54°．
综上所述，∠A的度数可以是18°或36°或54°或72°．
故答案为：18°或36°或54°或72°．
15．解：①当为锐角三角形时：∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
②当为钝角三角形时：∠BAC＝90°+40°＝130°，
∴∠ACB＝（180°﹣130°）＝25°；
故答案为：65°或25°．
16．解：①如图，∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，

∴∠A＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣65°）÷2＝57.5°
②如图，

∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝65°÷2＝32.5°．
故答案为：57.5°或32.5°．
17．解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3 b＝4，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴1＜c＜7；
（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20＝180，
解得x＝50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20＝180，
解得x＝44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得
x＝2x﹣20，
解得x＝20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
18．解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵BC+BD+DC＝20，
∴AD+DC+BC＝20，
∴AC+BC＝20，
∵AB＝2AE＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．

19．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD，
即AD平分∠EAF．
20．解：
（1）∵|a﹣3|+b2﹣8b+16＝|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3 b＝4，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴1＜c＜7；
（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20＝180，
解得x＝50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20＝180，
解得x＝44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得
x＝2x﹣20，
解得x＝20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
21．解：如答图所示，延长CD交AB的延长线于点F
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2
又∵AD⊥CF
∴∠ADC＝∠ADF＝90°
又∵AD＝AD
∵在△ACD和△AFD中
，
∴△ACD≌△AFD（ASA）
∴CD＝DF＝CF
∵∠ABC＝90°
∴∠2+∠AEB＝90°
又∵CD⊥AE于D，
∴∠CDE＝90°
∴∠3+∠CED＝90°
∵∠AEB＝∠CED
∴∠3＝∠2
在△ABE和△CBF中，
∵，
∴△ABE≌△CBF（ASA）
∴AE＝CF
∴CD＝AE

22．解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
①当AB+AD＝12cm时，AB＝8cm，BC＝17cm，因为8+8＜17，所以不能构成三角形；
②当AB+AD＝21cm时，AB＝14cm，BC＝5cm，因为14﹣5＜14＜14+5，所以能构成三角形；
∴腰长为14cm．

23．解：显然x≠2x，
又若x＝5x﹣3，则x+（5x﹣3）＝x+x＝2x不合题意．
∴2x＝5x﹣3，
解得：x＝1，
∴三角形周长为1+2+2＝5．
24．解：∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠A，
∵BD＝DC，
∴∠C＝∠CBD，
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDA＝∠A＝2x，
∴∠ABD＝180°﹣4x，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝180°﹣4x+x＝105°，
解得：x＝25°，
所以2x＝50°，
即∠A＝50°，∠C＝25°．
25．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝37.5°．
∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．
26．解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm；
当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm．
答：另外两边的长度是6cm，4cm或5cm，5cm．
27．证明：过A作AP⊥BC于P，
∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝CP，
同理有DP＝EP，
∴BP+EP＝CP+DP，
即BE＝CD．

28．（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；
（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．
29．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝3t，CQ＝3t，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×10＝5cm，
PC＝（8﹣3t）cm，
①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝PC，BP＝CQ，
∴5＝8﹣3t且3t＝3t，
解得t＝1，
②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝CQ，BP＝PC，
∴5＝3t且3t＝8﹣3t，
解得t＝且t＝，（舍去），
综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒．

30．解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3+∠4＝72°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°﹣∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE+CE+AC＝BC+AC＝12+7＝19．
即△AEC的周长为19．
31．证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴BD＝AD＝3，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CD＝2AD＝6．