初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理课堂检测

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理课堂检测，共20页。
1．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则以下两个角的关系中不成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠2C．∠4＝∠5D．∠4＝∠C
3．如图，△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
5．一个等腰三角形的周长为16cm，其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
6．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角度数是（ ）
A．80°B．40°C．80°或40°D．无法确定
二．填空题（共10小题）
7．已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝ 度．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝ ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝ °．
10．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝ ．
11．等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝ °．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
13．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 秒时，△ACP是直角三角形．
14．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；
④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
16．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：
（1）∠A1A2C的度数等于 度；
（2）如果继续在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，连接A3D，…，依此进行下去，那么以An为顶点的锐角的度数等于 度．
三．解答题（共8小题）
17．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
18．如图，△ABC中，∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若AB＝5，BC＝8，求△ABE的周长；
（2）若BE＝BA，求∠C的度数．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC＝40°．
（1）则∠NMB＝ ；
（2）如果将题中∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，那么∠NMB＝ ；
（3）你发现有什么样的规律性？试证明；
（4）若将题中的∠BAC改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
21．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系： ．
（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．
22．已知：如图，△ABC中，CD⊥BA交BA延长线于点D，∠ABC＝∠ACB．
（1）若∠DCB＝64°，求∠BAC的度数．
（2）如图2，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE交BC于点G．若∠DCA＝2∠CAE，求∠CGE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F．M、N是AE上的两点，且CM⊥CN，若∠ACM＝15°，∠CNM+∠NCF＝145°，求∠CAE的度数．
23．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，请用含x的代数式表示y，并说明理由．
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
2．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
故A正确，不符合题意；
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠C＝∠C，
∴∠3＝∠2，
故B正确，不符合题意；
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4≠∠5，
故C错误，符合题意；
在Rt△AEF中，∠4＝90°﹣∠2，
在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，
∴∠4＝∠C，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，
∴2α＝90°+β，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
4．解：当高在三角形内部时，如图1，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，
∴∠A＝60°；
∴顶角是60°；
当高在三角形外部时，如图2，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角是120°．
故选：D．
5．解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8（cm），
∵4+4＝8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为×（16﹣4）＝6（cm），
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
6．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，顶角∠B＝80°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，顶角∠A＝40°．
故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
7．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∵D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD＝40°，
故答案为：40．
8．解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．
9．解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
10．解：∵∠EAD＝30°，
∴∠AED+∠ADE＝150°，
∵EA＝EB，DA＝DC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，
∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，
∴∠BAE+∠CAD＝75°，
∴∠BAC＝105°．
故答案为：105°．
11．解：本题分两种情况，
①当70°角为顶角时，顶角的度数为70°，
②当70°角为底角时，顶角的度数为180°﹣2×70°＝40°；
∴这个等腰三角形的顶角为40°或70°．
故答案为：70°或40°．
12．解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，
∴∠B+2∠B+84°＝180°，
解得∠B＝32°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠ADC＝64°，
∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．
∴∠E+∠ADC＝90°，
解得∠E＝26°．
故答案为26．
13．解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5cm，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∴AD＝＝＝3（cm），
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，
则PB＝t，PC＝8﹣t，
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，
解得：t＝1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，
∵AB＝AC，
∴PB＝PC＝BC＝4（cm），
∴t＝4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
14．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
15．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故答案为：①②④．
16．解：（1）在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝＝76°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°；
（2）同理可得，∠DA3A2＝19°，∠EA4A3＝9.5°，
∴以An为顶点的锐角的度数等于度．
故答案为：38，．
三．解答题（共8小题）
17．解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
18．解：（1）∵∠A＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝AB+BC，
∵AB＝5，BC＝8，
∴△ABE的周长＝5+8＝13；
（2）∵BE＝BA，
∴∠A＝∠AEB，
∵BE＝CE，
∴∠EBC＝∠C，
∴∠A＝∠AEB＝∠EBC+∠C＝2∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠C＝180°，
解得：∠C＝36°．
19．解：（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×40°＝20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM＝∠CAD，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ANM＝∠BAD，
∴AM＝NM，
∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN，
∵AB＝8，BN＝3，
∴△BMN的周长＝8+3＝11．
故△BMN的周长为11．
20．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴，
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝20°．
故答案为：20°．
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝70°，
∴，
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝35°．
故答案为：35°．
（3）上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．
证明：设∠A＝α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α），
∵∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α；
（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中猜想的结论仍然成立．
证明：设∠A＝α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α），
∵∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α．
21．（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
故答案为∠BAC＝2∠EDC．
（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．
理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，
∵KE⊥EC，
∴∠E＝90°，
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
22．（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵∠ADC＝∠AHC＝90°，
∴∠HAD+∠DCB＝180°，
∵∠BAH+∠HAD＝180°，
∴∠BAH＝∠DCB，
∵∠BAC＝2∠BAH，
∴∠BAC＝2∠DCB＝128°．
（2）解：如图2中，
∵AC∥BE，
∴∠CAE＝∠AEB，∠ACB＝∠CBE，∠DCA＝∠DEB，
∵∠DCA＝2∠CAE，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE，∠BED＝2∠AEB，
∴∠AEC＝∠AEB＝∠DEB，
∴∠CGE＝∠AEB+∠CBE＝∠DEB+∠DBE＝×90°＝45°．
（3）解：设∠ABC＝∠ACB＝x，∠AEB＝∠AEC＝∠CAE＝y，∠CNG＝z．
∵∠CNG+∠NCF＝145°，∠NCF＝∠CGN+∠CNG，∠CGN＝∠CAG+∠ACG
∴z+x+y+z＝145°①，
∵∠CMN+∠CNM＝90°，
∴x+15°+z＝90°②，
∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2x，∠DCA＝∠CAE+∠AEC＝2y，
∴2x+2y＝90°③，
由①②③可得，x＝25°，y＝20°，z＝50°，
∴∠CAE＝20°．
23．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝34°，
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠A＝x°，
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90﹣）°，
由（1）可得：∠ABP＝∠ABC＝（45﹣）°，∠BDC＝90°，
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45﹣）°＝（45+）°，
即y与x的关系式为y＝45+．
24．解：如图所示，设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为10，则2x+x＝10，
解得x＝，
则x+y＝18，
即+y＝18，
解得y＝，此时不能组成三角形，应舍去．
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，
解得x＝6，
则x+y＝10，
即6+y＝10，
解得y＝4；
所以等腰三角形的腰长可能为12．
故答案为：12．