高中数学1.1.2 空间向量基本定理课文内容课件ppt

这是一份高中数学1.1.2 空间向量基本定理课文内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了共面向量定理，知识梳理，b＝λa，不共线，xa＋yb，注意点，反思感悟，空间向量基本定理，不共面，线性组合等内容，欢迎下载使用。

1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
　　“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程.
　　联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量.通过今天的学习，我们一起去寻找答案.
问题1　共线向量基本定理的内容是什么？它适用于空间向量吗？
提示　如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量.
1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在　　 的实数λ，使　　　.2.共面向量定理：(1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b　　　 ，则对该平面内任意一个向量c，存在　　 的实数对(x，y)，使得c＝　　　 .(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 　　　，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在　　 的实数对(x，y)，使c＝ .(3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点 　　　，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在　　 的实数对(x，y)，使 ＝ .
(1)共线，则A，B，C，D四点不一定共线.(2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有　　 ，则x＋y＋z＝1，反之亦成立.
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ BD，AN＝ AE.求证：向量 共面.
证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 ＝ ，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足　　，判断　 三个向量是否共面.
问题2　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝xi＋yj.
问题3　你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c　　　 ，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0.②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的 　　　　或　 　　　　.③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合　　　　 能生成所有的空间向量，a，b，c组成的集合 称为空间向量的一组　　 .此时a，b，c都称为　　　 ；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
(1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且 ＝e1＋2e2－e3， ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ }能否作为空间的一组基底.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，
空间向量基本定理的应用
已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°.
∴{a，b，c}为一组基底.
＝a·b＋a·c－b·c－c2＝1×1×cs 60°＋1×1×cs 60°－1×1×cs 60°－1
＝1＋1＋1＋2(cs 60°＋cs 60°＋cs 60°)＝6，
利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直.可求两向量的数量积、夹角、长度.
(1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形
OA，OB，OC两两互相垂直，
同理∠ABC，∠BCA均为锐角.
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ ，AD＝ ，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则 所成的角为_____.
1.知识清单： (1)共线向量基本定理、共面向量定理. (2)空间向量基本定理.2.方法归纳：数形结合、转化与化归.3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错.
1.若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为A.a B.b C.c D.2a
对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.
2.已知向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a－2b，则一定共线的三点是A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D
所以A，B，D三点共线.
4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点.
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基底，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p.
2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝ ，向量b＝ ，则与a，b不能构成空间基底的是
3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有 ，则A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面
又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面.
5.{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为
xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
6.(多选)关于空间向量，以下说法正确的是A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的　一组基底D.若a·b<0，则〈a，b〉是钝角
根据平面向量基本定理可知，空间的三个向量中，若有两个向量共线，那么这三个向量一定共面，故A正确；
由于 ＝1，所以根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面，故B正确；
因为{a，b，c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，所以a＋b，b＋c，c＋a也不共面，因此{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故C正确；a·b<0，则〈a，b〉可以是钝角，也可以是180°，故D错误.
8.已知空间四边形ABCD中， ＝a－2c， ＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则 ＝___________.
如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG.
9.已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)证明：E，F，G，H四点共面；
如图，连接EG，BG.
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面.
(2)证明：BD∥平面EFGH.
∴EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
又BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.
＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c＝4－1＝3.
且M，A，B，C四点共面，
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G点是△BA1D的重心，且 ，则x＋y＋z的值为A.3 B.1 C.－1 D.－3
14.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使 ＝0，那么λ＋m＋n的值为____.
∵A，B，C三点共线，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，∴λ＋m＋n＝0.
如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
16.如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝AOC＝θ，
则|a|＝|b|＝|c|.