人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量第1课时导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量第1课时导学案，共14页。学案主要包含了空间中的点与空间向量，空间中的直线与空间向量，用直线的方向向量处理直线的平行等内容，欢迎下载使用。

第1课时 空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法.2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题．
导语
2021年7月，河南省郑州市连遭暴雨袭击，全国人民紧急支援，郑州市区交通基本恢复之后，在交通繁忙的路口，交警借助专用手势，作为“语言”来指挥交通，迎接来自全国的爱心援助．
在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行．同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？让我们一起去认识它们吧！
一、空间中的点与空间向量
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示，我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
知识梳理
用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量eq \(OP,\s\up6(→))唯一确定．此时，eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．
(1)若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标．
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3，－1,5)，
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(2,2,0)＝(1,1,0)，
∴点P的坐标为(1,1,0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→)).
设点P的坐标为(x，y，z)，则
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－3，y－4，z)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－x,5－y,5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝eq \f(1,2)(2－x,5－y,5－z)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝\f(1,2)2－x，,y－4＝\f(1,2)5－y，,z＝\f(1,2)5－z，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3)，))
因此点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3))).
反思感悟 解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标．
跟踪训练1 已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则点C的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，－1，－1))
解析 设C(x，y，z)，
则(x－3，y－3，z＋5)＝eq \f(2,3)(－1，－6,6)，
解得x＝eq \f(7,3)，y＝－1，z＝－1，
所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，－1，－1)).
二、空间中的直线与空间向量
问题2 空间中给定一个点A和一个方向能确定一条直线l的位置吗？
提示 可以，设v为直线l的一个方向向量，定点A在直线l上，对于直线l上任一点B，易知存在唯一的实数λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λv，从而可以确定直线l的位置．
知识梳理
直线的方向向量
定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝eq \(AB,\s\up6(→))就是直线l的一个方向向量．
(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行．
(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定．
(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)直线l方向向量常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点．
例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( )
A.eq \(AA1,\s\up6(—→)) B.eq \(C1E,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(A1A,\s\up6(—→))
答案 ABD
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．
(2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案 A
解析 由题意，可得直线l的一个方向向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)，
又eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2,3)，所以向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
反思感悟 对直线方向向量的两点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量eq \(PQ,\s\up6(→)).
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
跟踪训练2 已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝______，z＝________.
答案 －eq \f(3,2) eq \f(3,2)
解析 ∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)，
∴λ＝－eq \f(1,2)，－2－y＝λ，z－3＝3λ，
解得y＝－eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2).
三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
例3 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点．
证明：①BF∥D1E；
②BE不与D1M平行；
③BE⊥C1M.
证明 如图，以A为原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，C1(1,1,1)．
①∵eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(D1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(1,2)))，
∵eq \(BF,\s\up6(→))＝－eq \(D1E,\s\up6(—→))，
∴eq \(BF,\s\up6(→))∥eq \(D1E,\s\up6(—→))，
∴BF∥D1E.
②eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(D1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－1))，
∵eq \f(－1,\f(1,2))≠eq \f(\f(1,2),－1)，
∴eq \(BE,\s\up6(→))不与eq \(D1M,\s\up6(—→))平行，
∴直线BE不与直线D1M平行．
③eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，－1)).
∴eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(C1M,\s\up6(—→))＝(－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋0×0＋eq \f(1,2)×(－1)
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0，
∴eq \(BE,\s\up6(→))⊥eq \(C1M,\s\up6(—→))，
∴BE⊥C1M.
反思感悟 判定直线平行、垂直的向量法
v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量．
(1)v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
(2)v1与v2不平行⇔l1与l2不平行．
(3)v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直．
跟踪训练3 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( )
A．－6 B．6 C．14 D．－14
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
则eq \f(－1,2)＝eq \f(2,n)＝eq \f(m,－12)，解得n＝－4，m＝6，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝eq \f(1,2)EB
D．E与B重合
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，
设E(2,2，t)．则eq \(D1F,\s\up6(—→))＝(0,1，－2)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(2,2，t)．
由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，
即2－2t＝0.
所以t＝1，即E为BB1的中点．
1.知识清单：
(1)空间点的表示．
(2)直线的方向向量．
(3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合．
1．已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
答案 A
解析 因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.
2．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)
答案 D
解析 l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，
A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.
3．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
答案 A
解析 因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，
b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，
即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直．
4．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))
解析 设M(x，y，z)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq \(CM,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z＋3)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＋y－2＝0，,x＝－y，,z－1＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝1，))
∴点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).
1．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6) B．(－1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,3)，故A满足题意．
2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,3，－7)，b＝(2,4,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×2＋3×4＋(－7)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－5)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2,6,4)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,4，－1)．
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.且|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(AC,\s\up6(→))|，
∴△ABC是直角三角形．
故选C.
4．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq \f(15,2)
答案 D
解析 由题意得，eq \f(3,2)＝eq \f(x,4)＝eq \f(y,5)，∴x＝6，y＝eq \f(15,2).
5．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B.eq \f(5,2) C.eq \f(1,2) D．3
答案 B
解析 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝eq \f(5,2).
6．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))
答案 AD
解析 设D(x，y，z)，
则eq \(BD,\s\up6(→))＝(x，y－1，z)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y，z)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，－1,1)．
又DB⊥AC，∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴－x＋z＝0.①
DC⊥AB，∴eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，∴－x＋y＝0.②
AD＝BC，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
∴(x－1)2＋y2＋z2＝2.③
由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－eq \f(1,3).
7．若直线l1的方向向量为v1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，
又v1·eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3,2)·(1，－1,1)＝0，
故两直线的位置关系为垂直．
8．已知点A(3,5,4)，B(3,0,4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则点C的坐标为________．
答案 (9,10,12)
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
∵eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－3，y，z－4)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(3,5,4)，
∴(x－3，y，z－4)＝(6,10,8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝6，,y＝10，,z－4＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝10，,z＝12，))
∴点C的坐标为(9,10,12)．
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4，\f(2,3))).
则eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(RS,\s\up6(→))分别为直线MN，RS的方向向量，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，2，\f(2,3)))，eq \(RS,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，2，\f(2,3)))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(RS,\s\up6(→))，所以eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(RS,\s\up6(→))，
因为M∉RS，
所以MN∥RS.
方法二 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB1,\s\up6(—→))＋eq \(B1A1,\s\up6(——→))＋eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \f(1,3)c－a＋eq \f(1,2)b，
eq \(RS,\s\up6(→))＝eq \(RC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DS,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a＋eq \f(1,3)c.
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(RS,\s\up6(→))，所以eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(RS,\s\up6(→)).
又R∉MN，所以MN∥RS.
10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(——→))＋eq \(A1E,\s\up6(—→)).
(1)解 E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明 因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
所以eq \(A1F,\s\up6(—→))＝(－x，a，－a)，eq \(C1E,\s\up6(—→))＝(a，x－a，－a)，
所以eq \(A1F,\s\up6(—→))·eq \(C1E,\s\up6(—→))＝－ax＋a(x－a)＋(－a)2＝0，
所以eq \(A1F,\s\up6(—→))⊥eq \(C1E,\s\up6(—→))，所以A1F⊥C1E.
(3)证明 因为A1，E，F，C1四点共面，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))，eq \(A1C1,\s\up6(——→))，eq \(A1F,\s\up6(—→))共面．
选eq \(A1E,\s\up6(—→))与eq \(A1C1,\s\up6(——→))为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使eq \(A1F,\s\up6(—→))＝λ1eq \(A1C1,\s\up6(——→))＋λ2eq \(A1E,\s\up6(—→))，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq \f(1,2)，λ2＝1.
于是eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(——→))＋eq \(A1E,\s\up6(—→)).
11．已知向量a＝(4,4,5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是( )
A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3
C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2
答案 A
解析 由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有A满足2×4＋4×5＝28.
12．一质点从(1,1,1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1,2,3)，2秒后质点所处的位置为( )
A．(3,5,7) B．(2,4,6)
C．(3,5,8) D．(5,3,7)
答案 A
解析 2秒后质点所处的位置为(1,1,1)＋2v＝(1,1,1)＋2(1,2,3)＝(3,5,7)．
13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有( )
A．A1C B．BD1 C．AD1 D．CD1
答案 ABD
解析 如图所示，以A为原点，以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，
∴eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(1,0,1)，eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(1,1，－1)，eq \(BD1,\s\up6(—→))＝(－1,1,1)，eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0,1,1)，eq \(CD1,\s\up6(—→))＝(－1,0,1)，
∵eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝0，eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(BD1,\s\up6(—→))＝0，eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(AD1,\s\up6(—→))＝1≠0，eq \(AB1,\s\up6(—→))·eq \(CD1,\s\up6(—→))＝0，∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.
14．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为________．
答案 (1,0,5)
解析 ∵D∈平面zOx，∴设D(x,0，z)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x，－3，z－5)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,3,0)．
∵直线AD∥BC，∴eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴存在λ∈R，使得eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
∴(x，－3，z－5)＝λ(－1,3,0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－λ，,－3＝3λ，,z－5＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,x＝1，,z＝5.))∴点D的坐标为(1,0,5)．
15．设两条不重合的直线的方向向量分别为m，n，则存在正实数λ，使得“m＝λn”是“两条直线平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若存在正实数λ，使得“m＝λn”，则m，n共线，可得两条直线平行；
反过来，若两条直线平行，则方向向量共线，但可能同向也可能反向，λ可能为负值．
所以是充分不必要条件．
16．已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
证明 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
因为eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c)，
eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a＋c)，
所以eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝eq \f(1,2)(b＋c－a)，
eq \(QN,\s\up6(→))＝eq \(QO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)(a＋c)
＝eq \f(1,2)(a＋c－b)．
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(QN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[c－(a－b)]·[c＋(a－b)]
＝eq \f(1,4)[c2－(a－b)2]＝eq \f(1,4)(|eq \(OC,\s\up6(→))|2－|eq \(BA,\s\up6(→))|2)．
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(QN,\s\up6(→))＝0，
即eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(QN,\s\up6(→)).所以PM⊥QN.