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数学人教B版 (2019)2.4 曲线与方程图文课件ppt
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这是一份数学人教B版 (2019)2.4 曲线与方程图文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，点的坐标，曲线C，曲线C的方程，反思感悟，或－2，求曲线的方程，几何条件，化简并检验，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
同学们，上一章我们学习了坐标平面上的直线，我们通过二元一次方程可以定量计算直线的倾斜角、距离、夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行、垂直，这一切都源于二元一次方程与直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，这实际上就是曲线与方程的对应关系，今天我们对曲线与方程进一步拓展.
曲线的方程与方程的曲线
问题 请同学们举出我们所学习过的曲线与方程的关系.
提示 一次函数：二元一次方程⇔直线；二次函数：二元二次方程⇔抛物线；幂函数、三角函数、对数函数、指数函数等都可以用方程f(x)－y＝0表示.包括我们学习过的几何图形中的点、线、圆，也都可以用二元的方程来表示.
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上的 都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在 上，则称曲线C为_____ ，方程F(x，y)＝0为 .
F(x，y)＝0的曲线
(1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是A.方程F(x，y)＝0的曲线是CB.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线CC.F(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是
由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
(3)已知方程x2＋(y－1)2＝10.①判断点P(1，－2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
②若点 在此方程表示的曲线上，求m的值.
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
(1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2 ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)方程x＝表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆
平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆.
(3)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，即点P(2,1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0，即4＋k2－6－k－4＝0，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.
求动点M轨迹方程的一般步骤：(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M满足的 ，并将该 用M的 表示出来；(3) 所得方程是否为M的轨迹方程.
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程.
方法一 (直接法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略).由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，
方法二 (定义法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略).由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，
方法三 (代入法、相关点法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)(x≠0).
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
求曲线方程的方法(1)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.(2)代入法(相关点法)：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程.
(3)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标中的x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其一般方程.(4)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程.
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
根据方程研究曲线的性质
已知两曲线的方程为C1：2x－5y＋5＝0，C2：y＝－ ，判断两曲线有无交点.若有交点，求出交点；若无交点，请说明理由.
由①②消去y，得2x2＋5x＋50＝0， ③Δ＝25－4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解，
结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分，常用到数形结合.
已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝ 有两个公共点，求实数b的取值范围.
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).(*)l与曲线C有两个公共点，等价于方程(*)有两个不相等的非负实数解，
当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y＝x＋b的距离d＝1，
当直线l过点(－1,0)时，b＝1，
1.知识清单： (1)曲线的方程与方程的曲线的定义. (2)曲线的交点. (3)求曲线的方程(动点的轨迹方程).2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后 易漏掉检验.
1.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为A.一条直线 B.一条射线C.一条线段 D.不能确定
方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是
∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.
3.曲线y＝ 与xy＝2的交点是A.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在
4.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为________.
设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.
1.“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
结合曲线方程的定义易得.
2.方程|x|－|y|＝0表示的图形是
由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线.
以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0).设P(x，y)，
3.平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足| |＝4，则点P的轨迹是A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线
4.与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1(x≠±1)C.y＝ D.x2＋y2＝9(x≠0)
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1).
5.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1
7.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝_____.
由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
8.已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为__________.
设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，
9.已知曲线C的方程为x＝ ，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.
∴所求图形的面积为2π.
10.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
设点M的坐标为(x，y).∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
11.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是A.两条直线 B.一条直线和一条双曲线C.两个点 D.圆
方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0，
故方程表示两个点(－1，－1)，(1,1).
12.已知y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是A.a>1 B.01 D.a∈∅
∵a>0，∴y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图像大致如图，要使y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
13.笛卡尔、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是A.②③ B.①④ C.③ D.③④
以－x代x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称；以－x代x，－y代y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称；当x<0，y<0时，(x－1)(x－2)(x－3)<0，xy>0，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令x＝－1，易得y＝24，即(－1,24)适合题意，同理可得(1,0)，(2,0)，(3,0)适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.
14.给出下列说法：①方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点.其中正确说法的序号是________.
对于①，方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确.
15.直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为_______________________.
设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.
16.过点M(1,2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.
当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
同学们，上一章我们学习了坐标平面上的直线，我们通过二元一次方程可以定量计算直线的倾斜角、距离、夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行、垂直，这一切都源于二元一次方程与直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，这实际上就是曲线与方程的对应关系，今天我们对曲线与方程进一步拓展.
曲线的方程与方程的曲线
问题 请同学们举出我们所学习过的曲线与方程的关系.
提示 一次函数：二元一次方程⇔直线；二次函数：二元二次方程⇔抛物线；幂函数、三角函数、对数函数、指数函数等都可以用方程f(x)－y＝0表示.包括我们学习过的几何图形中的点、线、圆，也都可以用二元的方程来表示.
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上的 都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在 上，则称曲线C为_____ ，方程F(x，y)＝0为 .
F(x，y)＝0的曲线
(1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是A.方程F(x，y)＝0的曲线是CB.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线CC.F(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是
由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
(3)已知方程x2＋(y－1)2＝10.①判断点P(1，－2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
②若点 在此方程表示的曲线上，求m的值.
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
(1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2 ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)方程x＝表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆
平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆.
(3)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，即点P(2,1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0，即4＋k2－6－k－4＝0，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.
求动点M轨迹方程的一般步骤：(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M满足的 ，并将该 用M的 表示出来；(3) 所得方程是否为M的轨迹方程.
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程.
方法一 (直接法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略).由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，
方法二 (定义法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略).由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，
方法三 (代入法、相关点法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)(x≠0).
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
求曲线方程的方法(1)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.(2)代入法(相关点法)：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程.
(3)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标中的x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其一般方程.(4)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程.
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
根据方程研究曲线的性质
已知两曲线的方程为C1：2x－5y＋5＝0，C2：y＝－ ，判断两曲线有无交点.若有交点，求出交点；若无交点，请说明理由.
由①②消去y，得2x2＋5x＋50＝0， ③Δ＝25－4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解，
结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分，常用到数形结合.
已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝ 有两个公共点，求实数b的取值范围.
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).(*)l与曲线C有两个公共点，等价于方程(*)有两个不相等的非负实数解，
当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y＝x＋b的距离d＝1，
当直线l过点(－1,0)时，b＝1，
1.知识清单： (1)曲线的方程与方程的曲线的定义. (2)曲线的交点. (3)求曲线的方程(动点的轨迹方程).2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后 易漏掉检验.
1.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为A.一条直线 B.一条射线C.一条线段 D.不能确定
方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是
∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.
3.曲线y＝ 与xy＝2的交点是A.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在
4.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为________.
设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.
1.“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
结合曲线方程的定义易得.
2.方程|x|－|y|＝0表示的图形是
由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线.
以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0).设P(x，y)，
3.平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足| |＝4，则点P的轨迹是A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线
4.与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1(x≠±1)C.y＝ D.x2＋y2＝9(x≠0)
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1).
5.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1
7.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝_____.
由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
8.已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为__________.
设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，
9.已知曲线C的方程为x＝ ，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.
∴所求图形的面积为2π.
10.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
设点M的坐标为(x，y).∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
11.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是A.两条直线 B.一条直线和一条双曲线C.两个点 D.圆
方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0，
故方程表示两个点(－1，－1)，(1,1).
12.已知y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是A.a>1 B.0
∵a>0，∴y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图像大致如图，要使y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
13.笛卡尔、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是A.②③ B.①④ C.③ D.③④
以－x代x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称；以－x代x，－y代y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称；当x<0，y<0时，(x－1)(x－2)(x－3)<0，xy>0，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令x＝－1，易得y＝24，即(－1,24)适合题意，同理可得(1,0)，(2,0)，(3,0)适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.
14.给出下列说法：①方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点.其中正确说法的序号是________.
对于①，方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确.
15.直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为_______________________.
设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.
16.过点M(1,2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.
当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
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