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    新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第二章 2.6.2 双曲线的几何性质
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    高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质背景图ppt课件

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    这是一份高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质背景图ppt课件,共60页。PPT课件主要包含了双曲线的简单几何性质,提示1范围,渐近线,离心率,知识梳理,F1F2=2c,坐标原点,注意点,反思感悟,双曲线的离心率等内容,欢迎下载使用。

    1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
    2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
    3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
      在研究椭圆的几何性质时,我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究,下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
    问题 类比对椭圆几何性质的研究,探究双曲线 =1(a>0,b>0)的几何性质.
    所以x≥a或x≤-a;y∈R.2.对称性
    x轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是对称中心,又称为双曲线的中心.
    3.顶点(1)双曲线与对称轴的交点,称为双曲线的顶点.顶点是A1(-a,0),A2(a,0),只有两个.(2)如图,称线段A1A2为双曲线的实轴,它的长为2a,a称为半实轴长;称线段B1B2为双曲线的虚轴,它的长为2b,b称为双曲线的半虚轴长.(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.方程为x2-y2=m(m≠0).
    (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
    (2)e的范围:e>1.
    F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,-c),F2(0,c)
    x≥a或x≤-a,y∈R
    y≥a或y≤-a,x∈R
    A1(-a,0),A2(a,0)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大.(2)等轴双曲线的离心率为 ,渐近线方程为y=±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b.(5)画双曲线时,先画两条渐近线.(6)中心O,既是实轴的中点又是虚轴的中点,也是F1F2的中点.
    求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
    因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
    实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
    延伸探究若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0,n>0),求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
    由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
    双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于
    双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,所以x±y=0,
    由简单几何性质求标准方程
    求满足下列条件的双曲线的方程:
    依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,
    ∴a=5,b2=c2-a2=144,
    设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),代入点(2,1),则λ=3,
    (3)过点(2,1)的等轴双曲线.
    由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧
    ②渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).③等轴双曲线可设为x2-y2=λ(λ≠0).
    求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为 ;
    代入c2=a2+b2,得a2=9,
    ∴a2=3b2.①又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
    解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
    已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲线 =1(a>0,b>0)的渐近线相切,则该双曲线的离心率是
    又由圆C:x2+y2-10y+21=0,可得圆心为C(0,5),半径r=2,
    求双曲线离心率的方法(1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e= 得解.(2)解方程法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
    已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为
    不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形,所以只能是∠PF2F1=90°,所以|PF2|=|F1F2|=2c,所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,所以(2a+2c)2=2·(2c)2,即c2-2ac-a2=0,两边同除以a2,得e2-2e-1=0.
    1.知识清单: (1)双曲线的几何性质. (2)由简单几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率.2.方法归纳:待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
    由已知得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
    3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是A.x2-y2=8 B.x2-y2=4C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
    令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
    4.如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是________.
    由以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线,可得C(c,2c),
    可得e4-6e2+1=0,
    2.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为
    由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,
    由双曲线的几何性质可得,
    可得c=5,焦点坐标在x轴上,
    |PF|的最小值为c-a=2,D正确.
    即m<2且m≠0,故A不正确;
    则m2=2-m,解得m=1或m=-2,故B不正确;∵m2>0,故C正确;
    7.已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点F(5,0)到渐近线的距离为4,则实轴长为________.
    所以a2=c2-b2=25-16=9,所以a=3,所以实轴长为2a=6.
    8.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为___________.
    a2=64,c2=64-16=48,
    从而a′=6,b′2=12,
    9.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.(1)求双曲线的离心率;
    设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx,
    (2)P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,若PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
    由题意设F1(-c,0),F2(c,0),
    所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5,
    即bx+ay-ab=0.
    又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4,两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,
    于是双曲线的离心率为2.
    又2c=10,∴c=5.由a2+b2=c2,解得a2=20,b2=5.
    12.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是
    设椭圆与双曲线的标准方程分别为
    因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,
    由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,
    ∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,
    设椭圆的右焦点坐标为(c,0),
    16.双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
    (2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为 ,求双曲线的离心率.
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