新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第二章 习题课 圆锥曲线的综合问题(二)

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第二章　平面解析几何习题课　圆锥曲线的综合问题(二)学习目标直线与圆锥曲线的综合问题是圆锥曲线的难点问题，解决此类问题最大的思维难点是转化，用代数方法研究几何问题，即几何条件代数式，本节讨论圆锥曲线中有关定点问题、探索性问题.内容索引定点问题 一 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；化简得x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且 ＝－16，求证：直线AB恒过定点.易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4).反思感悟圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点.由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l的方程为x＝t(y－m)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意得y1≠0，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0. ①消去x得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意，得mt<0，∴mt＝－1，满足②，得l的方程为x＝ty＋1，故直线l过定点(1,0).探索性问题 二由题意知圆心在直线y＝－x上，设圆心坐标是(－p，p)(p>0)，则圆的方程为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，∴椭圆右焦点为F(4,0).假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.反思感悟 试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆 ＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0,1)的距离相等？若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可.消去y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵AP⊥MN，由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－11，∴e＝2.课时对点练 1.已知椭圆 ＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有A.3个 B.4个C.6个 D.8个12345678910111213141516√12345678910111213141516当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性，知这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.12345678910111213141516√由已知得M为△APQ的重心，∴a＝3|OM|＝3，123456789101112131415163.抛物线y2＝4x上有不同的两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点A.(0,2) B.(0,4)C.(－4,0) D.(－2,0)√12345678910111213141516设直线AB的方程为x＝ty＋b(b≠0)，并代入抛物线方程，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16t2＋16b>0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴b＝－4t，所以直线AB的方程为x＝ty－4t＝t(y－4)，过定点(0,4).12345678910111213141516√12345678910111213141516设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，12345678910111213141516所以kMN＝1，即y0＝2x0，123456789101112131415165.(多选)过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为√√√12345678910111213141516如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点.若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，12345678910111213141516当k＝0时，解得y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，12345678910111213141516√√√12345678910111213141516设直线AB的方程为x＝my＋t，代入抛物线y2＝2x，可得y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t>0，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t，＝t2－2t＝(t－1)2－1，123456789101112131415167.已知椭圆 ＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标是_______.12345678910111213141516由题意得a2＝9，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝5，因为∠F1PF2＝90°，所以在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20，化简得x2＋y2＝5.12345678910111213141516123456789101112131415168.设C是抛物线Γ：y＝2x2上一点，以C为圆心且与Γ的准线相切的圆必过一个定点P，则点P的坐标是_______.由抛物线的定义可知，以C为圆心且与Γ的准线相切的圆必过抛物线的焦点坐标，9.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点.求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；1234567891011121314151612345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.(2)直线AB过定点.1234567891011121314151612345678910111213141516∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，12345678910111213141516∴AB过定点(2p,0).当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，综上，AB过定点(2p,0).1234567891011121314151612345678910111213141516解得b2＝1，a2＝2，12345678910111213141516(2)设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q(2,1)，且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点(A，B异于点Q)，若k1＋k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.12345678910111213141516当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，整理得(2k2－1)x2＋4ktx＋2t2＋2＝0(2k2－1≠0)，Δ>0，12345678910111213141516整理得(2k－1)x1x2＋(t－2k＋1)(x1＋x2)－4t＝0，整理得，t2＋(2k－2)t＋1－2k＝0，即(t－1)(t＋2k－1)＝0，所以t＝1或t＝1－2k.12345678910111213141516当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx＋1，经过定点(0,1)；当t＝1－2k时，直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1，经过定点Q(2,1)，不符合题意.综上，若k1＋k2＝1，直线AB过定点(0,1).12345678910111213141516√12345678910111213141516设直线l的方程为x＝my＋n，代入椭圆方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4,0)，可得(x1－4，y1)·(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，即m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，12345678910111213141516化简整理可得5n2－32n＋48＝0，12345678910111213141516√12345678910111213141516设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线MP：y＝k(x－1)＋1(k≠0)，代入x2＝y得，x2－kx＋k－1＝0，即[x－(k－1)](x－1)＝0.所以x1＝k－1，则y1＝(k－1)2；同理，x2＝－k－1，y2＝(k＋1)2，12345678910111213141516得k≠0且k≠2，所以y0>1且y0≠5.12345678910111213141516√12345678910111213141516因为点M在直线x－2y－6＝0上，设M(2t＋6，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516即2x(2t＋6)＋3yt＝6，即(4x＋3y)t＋(12x－6)＝0，12345678910111213141516112345678910111213141516由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点P(1,1)，点Q(m，n)，得1－x1＝λ(x2－1)，m－x1＝－λ(x2－m)，即x1＋λx2＝1＋λ，x1－λx2＝m(1－λ)，12345678910111213141516又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，由①②相加可得，12345678910111213141516(0,4)12345678910111213141516设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，若|OA|，|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”(O为坐标原点)，可得|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，12345678910111213141516即b2－4b＝0，解得b＝4或b＝0(舍)，所以直线AB的方程为y＝kx＋4，恒过点(0,4).16.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；1234567891011121314151612345678910111213141516设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，即kOM·k＝－9.即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值－9.(2)若l过点 ，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516四边形OAPB能为平行四边形.∴k≠3，设点P的横坐标为xP.12345678910111213141516四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，12345678910111213141516经检验，满足Δ>0，∵k≠3，四边形OAPB为平行四边形.