苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案设计

4.1.2　指数幂的拓展

学习目标　通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

导语

牛顿(Newton 1643－1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，，，…写成，，，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程．

一、根式与分数指数幂的互化

问题　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

提示　

知识梳理

分数指数幂的意义

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈均为正整数)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n均为正整数)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

注意点：

(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．

(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．

例1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.

(1)；(2).

解　(1)＝.

(2) ＝＝＝a3..

反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数↔分数指数的分母，被开方数(式)的指数↔分数指数的分子．

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

跟踪训练1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.

(1)；(2).

解　(1)

(2)＝a2.

二、利用指数幂的运算性质化简和求值

知识梳理

1．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即：

(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；

(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；

(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)；

(4)拓展：①＝as－t(a>0，s，t∈Q)．

②t＝(a>0，t∈Q)．

2．一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．

注意点：

(1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘．

(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．

例2　化简求值：

(1)0＋2－2×－(0.01)0.5；

(2)

(3)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a>0，b>0，c≠0)．

解　(1)原式＝1＋×－＝.

(2)原式＝＝－＋＋－1－1＝3.

(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)

＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

＝－ac－1＝－.

反思感悟　指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．

跟踪训练2　化简求值：

(1)

(2)

(3)2÷4×3(a>0，b>0)．

解　(1)原式＝＝0.3－＋43＋2－＋1

＝64.

(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.

(3)原式＝

三、整体代换法求分数指数幂

例3　(1)已知，则x2＋x－2＝________.

答案　7

解析　将，两边平方得x＋x－1＋2＝5，

则x＋x－1＝3，

两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，

所以x2＋x－2＝7.

(2)已知x＋x－1＝7，求值：

①；

②x2－x－2.

解　①设m＝，

两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，

因为m>0，所以m＝3，即.

②设n＝，

两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，

因为n∈R，所以n＝±，即＝±.

所以

＝±3，

x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.

反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂

(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，，

跟踪训练3　已知a2x＝＋1，求的值．

解　由a2x＝＋1，得a－2x＝－1，

即a2x＋a－2x＝2.

所以(ax＋a－x)2－2＝2，

故ax＋a－x＝(舍负)．

所以＝ax＋a－x＝.

1．知识清单：

(1)根式与分数指数幂的互化．

(2)分数指数幂的运算．

2．方法归纳：整体代换法．

3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．

1．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．

B.(y<0)

C．(x≠0)

D.(x>0)

答案　CD

解析　对于选项A，

因为(x≥0)，

而(x≤0)，故A错误；

对于选项B，因为(y<0)，

故B错误；

对于选项C，(x≠0)，故C正确；

对于选项D，(x>0)，故D正确．

2.(a>0)的值为________．

答案　

解析　原式＝

3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.

答案　

解析　∵10x＝3，∴102x＝9，

∴102x－y＝＝.

4．计算：0.25×－4－4÷20－＝______.

答案　－4

解析　原式＝×16－4÷1－－1

＝4－4－4＝－4.

1．若有意义，则x的取值范围是(　　)

A．R

B.∪

C.

D.

答案　D

解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，

解得x<.

2．将化为分数指数幂为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　B

解析　

3．化简(a>0，b>0)得(　　)

A．－b2   B.b2

C．   D.

答案　A

解析　原式＝＝－b2.

4．(多选)已知a＋＝6，则的值可以为(　　)

A．－2   B．－

C.   D．2

答案　AD

解析　∵＝a＋－2＝6－2＝4，

∴＝±2.

5．若x>0，则等于(　　)

A．－23   B．23

C．   D．

答案　A

解析　原式＝＝＝－23.

6．(多选)下列化简结果中正确的有(字母均为正数)(　　)

A．(am)n＝amn   B．

C．   D．an＋bn＝(a＋b)n

答案　AB

解析　由指数幂的运算性质可得(am)n＝amn，，＝am－n≠，AB选项正确，C选项错误，取a＝b＝1，n＝2，则an＋bn＝2≠22＝(a＋b)n，D选项错误．

7．化简：＝________.

答案　1

解析　原式＝

8．已知，则＝________.

答案　

解析　因为＝a＋a－1＋2

＝＝9＋4＝13.

又因为

所以＝.

9．化简下列各式(x>0，y>0)：

(1)；

(2)

解　(1)

＝6x0y1＝6y.

(2)

＝x2y.

10．计算：

(1)7－3－6＋；

(2)

解　(1)原式＝

(2)原式＝

＝－－3＝0.

11.44(a>0)等于(　　)

A．a16  B．a8  C．a4  D．a2

答案　C

解析　原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4.

12．(多选)下列各式中一定成立的有(　　)

A.

B.＝

C.＝

D.＝

答案　BD

解析　A中应为7＝n7m－7；

＝＝，B正确；

C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．

13．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.  B．10  C．20  D．100

答案　A

解析　由题意得m>0，

∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，

∵2×5＝，

∴m2＝10，∴m＝.

14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．

答案　4

解析　因为

所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.

将am＝22代入②得22·a－n＝28，

所以an＝2－6，

所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6

＝22＝4.

15．已知，则＝________.

答案　±－

解析　∵，

两边平方得x＋x－1＋2＝9，

∴x＋x－1＝7，两边再平方得x2＋x－2＝47，

又(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝49－4＝45，

∴x－x－1＝±3，

故原式＝＝±－.

16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．

解　∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，

∴，∴.

同理，可得，.

∴

即

又＋＋＝，a，b，c为正整数，

∴abc＝70＝2×5×7.

∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.