高中数学5.2 函数的表示方法学案及答案

这是一份高中数学5.2 函数的表示方法学案及答案，共14页。学案主要包含了函数的三种表示方法，求函数的解析式，分段函数及其在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧．
一、函数的三种表示方法
问题1 结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？
提示 解析法；列表法；图象法．
知识梳理
函数的表示方法
注意点：
函数三种表示法的优缺点
例1 某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
解 (1)列表法：
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}．
反思感悟 理解函数表示方法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
解 用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
二、求函数的解析式
例2 (1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
(3)已知函数f(x)对于任意的x(x≠0)都有2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝x，求f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)：令t＝eq \r(x)＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)
＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))
∴f(x)＝x2－2x－1.
(3)f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq \f(1,x)，
得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x)，
于是得关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))的方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x).))
解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)．
反思感悟 求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
跟踪训练2 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．
解 (1)方法一 (配凑法)：
∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))
∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.
三、分段函数及其在实际问题中的应用
问题2 函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x100时，
设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100a＋b＝65，,130a＋b＝89，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.8，,b＝－15.))
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.65x，0≤x≤100，,0.8x－15，x>100.))
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分每度电0.8元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65100，
所以105＝0.8x－15，解得x＝150.
即该用户月用电62度时，则应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．
反思感悟 由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
跟踪训练3 如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.
(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
解 (1)点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,－2x＋24，x∈8，12.))
(2)函数的图象如图所示．由图象可得ymax＝8.
1.知识清单：
(1)函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
(2)求函数的解析式．
(3)分段函数及其在实际问题中的应用．
2．方法归纳：数形结合法、换元法、待定系数法．
3．常见误区：换元法求解析式时忽视新元的范围致误．
1．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2
答案 A
解析 因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.
2．函数y＝|x－1|＋1可表示为( )
A．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x1)) B．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤1,2－x，x>1))
C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x0得x