苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数学案

第18练　对数函数

1．若函数y＝lg(ax＋1)的定义域为(－∞，1)，则a等于(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．无法确定

答案　B

解析　函数y＝lg(ax＋1)的定义域为(－∞，1)，

则ax＋1>0的解集为(－∞，1)，故a＝－1.

2．(多选)已知函数f(x)＝，则下列叙述正确的是(　　)

A．减区间为(0，＋∞)   B．增区间为(－∞，0)

C．减区间为(2，＋∞)   D．增区间为(－∞，－2)

答案　CD

解析　由x2－4>0得x>2或x<－2，所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t＝x2－4，当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，y＝随t的减小而增大，所以y＝随x的增大而增大，即f(x)的增区间为(－∞，－2)，同理可得函数的减区间为(2，＋∞)．

3．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

答案　B

解析　由图象可知loga3＝1，所以a＝3.A选项，y＝3－x＝x为指数函数，在R上单调递减，故A不正确．B选项，y＝x3为幂函数，图象正确．C选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和B选项中y＝x3的图象关于x轴对称，故C不正确．D选项，y＝log3(－x)，其图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确．

4．已知a＝，b＝log16，c＝log17，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．b>a>c   D．c>b>a

答案　A

解析　由题意知a＝>1，

b＝log16＝log1617∈，

c＝log17＝log1716∈，∴a>b>c.

5．已知函数f(x)＝ex－(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　设h(x)图象与f(x)图象关于y轴对称，函数f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点，即h(x)＝g(x)有解，即函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象有交点，在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)，y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象．如图所示，由图象得当a≤0时，明显成立；当a>0时，ln a<.即0<a<.所以a的取值范围为(－∞，)．

6．已知0<a<1,0<b<1，若<1，则x的取值范围是________．

答案　{x|3<x<4}

解析　因为0<a<1，<1，所以logb(x－3)>0，又0<b<1，所以0<x－3<1，即3<x<4.

7．函数f(x)＝log3(8x＋1)的值域为________．

答案　(0，＋∞)

解析　由指数函数的性质可知8x>0，所以8x＋1>1，

据此可知f(x)＝log3(8x＋1)>0，

所以函数的值域为(0，＋∞)．

8．已知函数f(x)＝若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________．

答案　(－∞，－1]∪[4，＋∞)

解析　当a≤0时，a≥2，故a≤－1；当a>0时，log2a≥2，故a≥4.

故a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．

9．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．

答案　[－2,0]

解析　由y＝|f(x)|的图象知：

①当x>0时，y＝ln(x＋1)，

只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax.

②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.

当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x<0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.

综上可知，a∈[－2,0]．

10．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．

(1)求h(x)的定义域；

(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若a＝log327＋，求使f(x)>1成立的x的集合．

解　(1)由题意，得即－1<x<1.

所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(－1,1)．

(2)因为对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，

h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，

所以h(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)是奇函数．

(3)由a＝log327＋，得a＝2.

f(x)＝loga(1＋x)>1，即log2(1＋x)>log22，

所以1＋x>2，即x>1.

故使f(x)>1成立的x的集合为{x|x>1}．