新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第二章 习题课 圆锥曲线的综合问题(一)

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第二章　平面解析几何习题课　圆锥曲线的综合问题(一)学习目标直线与圆锥曲线的综合问题是圆锥曲线的难点问题，解决此类问题最大的思维难点是转化，用代数方法研究几何问题，即几何条件代数式，本节讨论圆锥曲线中有关证明性问题、定值问题.内容索引证明性问题 一 已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左焦点F1( ，0)，点Q 在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；又a2－b2＝3，∴a2＝4，b2＝1.(2)经过圆O：x2＋y2＝5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点，求证： ＝0.设点P(x0，y0).①当直线PA，PB的斜率都存在时，设过点P与椭圆C相切的直线方程为y＝k(x－x0)＋y0.得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0.Δ＝64k2(y0－kx0)2－4(1＋4k2)[4(y0－kx0)2－4].设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.②当直线PA或PB的斜率不存在时，不妨设P(2,1)，则直线PA的方程为x＝2.反思感悟 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影分别为A1，B1.证明A，O，B1三点共线.代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.则y1y2＝－p2.∴A，O，B1三点共线.定值问题 二∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，又直线方程为y＝x－c.x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.反思感悟 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).依题意得，Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或00，y>0)，∵N，O分别是MF和FF1的中点，12345678910111213141516123456789101112131415165.过原点的直线l与双曲线x2－y2＝6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为√12345678910111213141516由题意可设A(m，n)，B(－m，－n)，P(x，y)，则m2－n2＝6，x2－y2＝6，12345678910111213141516√√√12345678910111213141516因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为2c>2a,4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，12345678910111213141516所以∠PF2F1＝90°，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C错误；所以2(2－2y)2－y2＝2a2，12345678910111213141516所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，故D正确.故选ABD.123456789101112131415167.已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0,0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧， ＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.312345678910111213141516设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789101112131415166设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).即x1＋x2＋x3＝3，9.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)求抛物线的方程及其准线方程；12345678910111213141516由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：直线AB的斜率为定值.1234567891011121314151612345678910111213141516因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得3x2－10x＋3＝0，12345678910111213141516所以由抛物线的定义知|FA|，|FB|的值分别等于A，B到准线的距离，即λ＝3.12345678910111213141516√12345678910111213141516由题意点A(－1,0)，B(1,0)，设点P(x，y)(x>1，y>0)，则k1>0，k2>0，14.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l1：y＝kx＋m与l2：y＝ x＋n(k≠0，k≠±1)，若直线l1与抛物线交于A，B，直线l2与抛物线交于C，D，且AB的中点为M，CD的中点为N，则直线MN与x轴的交点坐标为________.12345678910111213141516(－2,0)12345678910111213141516由条件可知两条直线都过焦点F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则12345678910111213141516同理可得点N的坐标为(4k2＋2,4k)，令y＝0可得x＝－2，即直线MN与x轴的交点为(－2,0).1234567891011121314151612345678910111213141516直线l的方程为y＝x＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得(b2＋2)y2－4b2y＋2b2＝0，12345678910111213141516由①②③得b2＝4，(1)求C的方程；12345678910111213141516联立①②，可解得a2＝8，b2＝4.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.1234567891011121314151612345678910111213141516由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.