高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案，共11页。学案主要包含了平行或垂直的直线系方程，过两直线交点的直线系方程，过定点的直线系方程等内容，欢迎下载使用。

习题课　直线系方程
学习目标　1.了解直线系方程的一般形式.2.会用直线系方程解决一些简单的问题．
一、平行或垂直的直线系方程
知识梳理
平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；
垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
例1　过点(1,0)，且与直线x－2y－2＝0垂直的直线的方程是(　　)
A．2x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案　A
解析　设直线的方程为2x＋y＋c＝0，把点(1,0)代入可得c＝－2，即2x＋y－2＝0.
延伸探究
本例求“过点(1,0)，且与直线x－2y－2＝0”平行的直线方程．
解　设直线的方程为x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可得c＝－1，即x－2y－1＝0.
反思感悟　解决平行或垂直的直线系方程的思路
(1)利用与已知直线平行或垂直的关系设方程；
(2)根据平行与垂直的关系找斜率之间的关系，需要考虑斜率不存在的情况．
跟踪训练1　(1)过点P(2,2)，且与直线5x－3y＋8＝0平行的直线方程为________．
答案　5x－3y－4＝0
解析　由题意，得直线5x－3y＋8＝0的斜率是，所求直线的斜率是，
所以所求直线的方程为y－2＝(x－2)，
即5x－3y－4＝0.
(2)过点(3,5)与直线y＝x＋m垂直的直线方程是____________________．
答案　x＋y－8＝0
解析　设所求直线为y＝－x＋n，
过点(3,5)，故n＝8，
直线方程为x＋y－8＝0.
二、过两直线交点的直线系方程
知识梳理
过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
例2　求经过直线l1：x＋y－2＝0与l2：x－y－4＝0的交点且与直线l：3x＋2y－1＝0平行的直线方程．
解　方法一　l1与l2的交点坐标为(3，－1)，设直线3x＋2y＋c＝0，解得c＝－7，
故所求的方程为3x＋2y－7＝0.
方法二　设过l1与l2交点的直线方程为x＋y－2＋λ(x－y－4)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有2(1＋λ)＝3(1－λ)，所以λ＝，代入上式，
化简得3x＋2y－7＝0.
延伸探究
本例条件不变，求与l垂直的直线方程．
解　过l1与l2交点的直线方程为(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有3(1＋λ)＋2(1－λ)＝0，所以λ＝－5，
代入上式，化简得2x－3y－9＝0.
反思感悟　求过两直线交点的直线系方程的思路
(1)求交点坐标是基本方法；
(2)根据题目不同的要求，可设A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
跟踪训练2　求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程．
解　联立解得
所以直线l1与l2的交点为(－2,2)．
由两点式可得所求直线的方程为＝，
即x－4y＋10＝0.
三、过定点的直线系方程
例3　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解　方法一　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴
∴点P的坐标为(7,3)．
方法二　令m＝－1，得y＝3，
令m＝0，得x＝7，故P(7,3)．
反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练3　已知直线m的方程为(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，则坐标原点O到m的距离的最大值为________．
答案　
解析　直线m的方程为(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，
即a(x＋y－3)＋x－1＝0，
令解得
所以直线m恒过定点B(1,2)，
所以原点O到直线m的距离d≤|OB|＝，
即O到直线m的距离的最大值为.

1.知识清单：
(1)平行或垂直的直线系方程．
(2)过两直线交点的直线系方程．
(3)过定点的直线系方程．
2．方法归纳：消元法、直线系法、赋值法．
3．常见误区：求与已知直线平行的直线方程忽略重合．

1．已知直线l经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为(　　)
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案　B
解析　易知2x－y－5＝0的斜率为2，
故直线l的斜率为－，
根据点斜式可得直线l的方程为y＝－(x－2)－3，
整理可得y＝－x－2，
故直线l在y轴上的截距为－2.
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)
A．x－2y＋11＝0 B．x＋2y＋11＝0
C．x－2y－11＝0 D．x＋2y－11＝0
答案　A
解析　联立解得
设所求直线方程为x－2y＋C＝0(C≠0)，代入点(1,6)有1－12＋C＝0，∴C＝11，
故所求直线方程为x－2y＋11＝0.
3．已知y1，y2∈R，直线y－3＝(y1＋y2)(x＋2)恒过定点(　　)
A．(2，－3) B．(－2,3)
C．(－2,0) D．(0,3)
答案　B
解析　由y－3＝(y1＋y2)(x＋2)得(y－3)－(y1＋y2)(x＋2)＝0，
由于y1，y2∈R恒成立，所以
即恒过定点(－2,3)．
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
答案　2x＋y－4＝0
解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.


1．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(－2,1)
答案　A
解析　kx＋y＋1＝2k，可化为y＋1＝k(2－x)，
故该直线恒过定点(2，－1)．
2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
答案　A
解析　由解得
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
答案　C
解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　)
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
答案　A
解析　(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由得
6．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
答案　BD
解析　直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但当m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0，即x－y－1＝0，两直线重合，只有当m＝3时两直线平行，A错误，B正确；l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝，C错误，D正确．
7．过点P(3,4)，且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为____________________．
答案　2x－y－2＝0
解析　设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，把点P(3,4)的坐标代入直线方程，求得m＝－2，所以所求直线方程为2x－y－2＝0.
8．已知直线l经过点P(－1,2)，且垂直于直线2x＋3y－1＝0，则直线l的方程是________．
答案　3x－2y＋7＝0
解析　由题意，知所求直线l垂直于直线2x＋3y－1＝0，
设直线l的方程是3x－2y＋c＝0，
又由直线l过点P(－1,2)，代入可得－3－4＋c＝0，
解得c＝7，
故l的方程是3x－2y＋7＝0.
9．已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求：
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程；
(2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程．
解　设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.①
(1)把点Q(1,4)代入方程①，
化简得3－5m＝0，解得m＝，
所以过两直线交点P与Q的直线方程为
x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0.
(2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，
得(m＋1)－3(2－2m)＝0，解得m＝，
所以所求直线的方程为x＋y－＝0，
即3x＋y－8＝0.
10．已知直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：x－y－1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P(1，－1)到直线l的距离为2，直线l3与直线l1关于直线l2对称．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l3的方程．
解　(1)设过点A的直线l：x＋2y－4＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－4－λ＝0.
点P到直线l的距离
d＝＝＝2，
解得λ＝－1或，分别代入直线l方程中，
所以直线l：y＝1或4x＋3y－11＝0.
(2)设直线l3上任一点M(x，y)关于直线l2对称的点为N(x′，y′)，则lMN⊥l2，MN连线中点在l2上，且N在l1上．
所以解得
点N(y＋1，x－1)代入直线l1：x＋2y－4＝0中，得y＋1＋2(x－1)－4＝0，
整理得2x＋y－5＝0，即为所求直线l3的方程．

11．已知a>0，b>0，两直线l1：(a－2)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4 C. D．8
答案　C
解析　∵a>0，b>0，l1⊥l2，
∴a－2＋2b＝0，整理得a＋2b＝2，
∴＋＝(a＋2b)＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
故＋的最小值为.
12．当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案　C
解析　直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．2
答案　B
解析　(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，
整理得x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，
令
解得x＝y＝1，
所以直线过定点Q(1,1)，
所以点P到直线l的距离的最大值为d＝|PQ|＝＝.
14．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
答案　2
解析　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离d＝＝1，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.

15．已知直线l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，点A(－2，－1)，B(2，－2)，若直线l与线段AB相交，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－2,2)
C. D．(4，＋∞)
答案　C
解析　直线l方程变形得(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.

由得
∴直线l恒过点C，
kAC＝＝，kBC＝＝－，
由图可知直线l的斜率k的取值范围为k≤－或k≥，
又k＝－，
∴－≤－或－≥，
即2 又当m＝2时，直线的方程为x＝，仍与线段AB相交，
∴m的取值范围为.
16．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5,0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
解　(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
点A(5,0)到直线l的距离为3，
所以＝3，
解得λ＝或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，所以dmax＝|PA|＝，
直线l的斜率k＝－＝3，
所以直线l的方程为3x－y－5＝0.