数学2.2.2 直线的方程导学案

这是一份数学2.2.2 直线的方程导学案，共6页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A．2 B．1 C.eq \r(5) D．5
答案 C
解析 根据对称性知点N(－1,2)，由两点间距离公式得到|ON|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5).
2．经过A(0,2)，B(－eq \r(3)，3)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 由题意eq \f(k,1)＝eq \f(3－2,－\r(3)－0)，解得k＝－eq \f(\r(3),3).
3．在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是( )
A．3x－y－1＝0 B．x＋2＝0
C．3x＋2y－6＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 C
解析 直线的倾斜角为钝角，则斜率k<0，只有选项C符合．
4．经过两点(3,9)，(－1,1)的直线在x轴上的截距为( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．2
答案 A
解析 经过两点(3,9)，(－1,1)的直线的斜率为k＝eq \f(9－1,3－－1)＝2，
则该直线的方程为y＝2(x－3)＋9＝2x＋3，
令y＝0，则x＝－eq \f(3,2)，
即该直线在x轴上的截距为－eq \f(3,2).
5.已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b>0，d<0，a0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a答案 C
解析 l1：x＋ay＋b＝0可化为y＝－eq \f(1,a)x－eq \f(b,a)，
l2：x＋cy＋d＝0可化为y＝－eq \f(1,c)x－eq \f(d,c)，
由图知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)>－\f(1,c)>0，,－\f(b,a)<0，,－\f(d,c)>0，))
故c0，故选C.
6．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为( )
A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0
答案 D
解析 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋4,4＋4)，即x－2y＋4＝0.
二、多项选择题
7．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标可能是( )
A．(－3,1) B．(2,7)
C．(7,1) D．(2，－3)
答案 AC
解析 ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，
又|AB|＝5＝|a－2|，∴a＝－3或7.
8．下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C．过点(2，－1)，斜率为－eq \r(3)的点斜式方程为y＋1＝－eq \r(3)(x－2)
D．直线的斜率越大，倾斜角越大
答案 AC
解析 对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确；对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；对于C，由点斜式方程知，过点(2，－1)，斜率为
－eq \r(3)的点斜式方程为y＋1＝－eq \r(3)(x－2)，所以选项C正确；对于D，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))内，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项D错误．
三、填空题
9．若倾斜角为eq \f(3π,4)的直线过点(1,3)和(2，m)，则m＝________.
答案 2
解析 因为直线的倾斜角为eq \f(3π,4)，故斜率为tan eq \f(3π,4)＝－1.故eq \f(m－3,2－1)＝－1，解得m＝2.
10．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程，可得eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,2－1)，
即2x－y＋1＝0.
11．过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的一般式方程是________．
答案 x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析 当y轴上的截距b＝0时，设直线方程为y＝kx，将点(5,2)代入方程，得y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0.当b≠0时，设直线的方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，将点(5,2)代入方程，解得b＝eq \f(9,2)，即直线方程为eq \f(x,9)＋eq \f(y,\f(9,2))＝1，即x＋2y－9＝0.
12．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则eq \f(y,x－3)的最大值是________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 eq \f(y,x－3)的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，
又点P(x，y)在线段AB上，由图知，
当点P与点B重合时，eq \f(y,x－3)有最大值，
又kBQ＝eq \f(2－0,－1－3)＝－eq \f(1,2)，
因此eq \f(y,x－3)的最大值为－eq \f(1,2).
四、解答题
13．已知直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，且直线l分别满足下列条件：(结果化成一般式)
(1)若过点P(3，－4)，求直线l的方程；
(2)若在x轴上截距为－2，求直线l的方程；
(3)若在y轴上截距为3，求直线l的方程．
解 由题意直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角为150°，
又直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，
故所求直线l的倾斜角为30°，
其斜率为k1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
(1)若所求直线过点P(3，－4)，
由点斜式方程得y＋4＝eq \f(\r(3),3)(x－3)，
整理得eq \r(3)x－3y－3eq \r(3)－12＝0.
(2)若所求直线在x轴截距为－2，
则直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得y－0＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，
整理得eq \r(3)x－3y＋2eq \r(3)＝0.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝eq \f(\r(3),3)x＋3，
整理得eq \r(3)x－3y＋9＝0.
14．已知直线m的方向向量v＝(1,2)．
(1)求过点A(0，－3)且倾斜角是直线m倾斜角2倍的直线l1的斜截式方程；
(2)求过点B(2,3)且以直线m的方向向量v＝(1,2)为法向量的直线l2的一般式方程．
解 (1)设直线m的倾斜角为α，则由题意可得tan α＝2，
设直线l1的斜率为k，则k＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3)，
因为直线l1过点A(0，－3)，
所以直线l1的斜截式方程为y＝－eq \f(4,3)x－3.
(2)因为直线l2的法向量为v＝(1,2)，
所以直线l2的斜率为－eq \f(1,2)，
因为直线l2过点B(2,3)，
所以直线l2为y－3＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－8＝0，
所以直线l2的一般式方程为x＋2y－8＝0.
15.已知直线l过定点P(－2,1)，且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；
(2)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．
解 设l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
因为过点P(－2,1)，所以－eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
(1)S△AOB＝eq \f(1,2)(－ab)＝4，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,ab＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2，))
所以直线l的方程为－eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x－2y＋4＝0.
(2)因为A，P，B三点共线，
所以|PA|·|PB|＝eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))
＝(－2－a,1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5
＝(－2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)＋\f(1,b)))－5
＝－eq \f(2b,a)－eq \f(2a,b)＋4＋1－5
＝－eq \f(2b,a)－eq \f(2a,b)≥4，
当且仅当a＝－3，b＝3时取等号，
所以直线l的方程为x－y＋3＝0.