数学选择性必修 第一册2.1 坐标法学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.1 坐标法学案，共6页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，eq \r(3))，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是( )
A．－eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
答案 A
解析 依题意，得kOA＝eq \f(\r(3)－0,1－0)＝eq \r(3)，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，
所以直线m的倾斜角为eq \f(2π,3)，
所以直线m的斜率为tan eq \f(2π,3)＝－eq \r(3).
2．直线l1：x＋ay＋3＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为( )
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
答案 A
解析 ∵直线l1：x＋ay＋3＝0和l2：(a－2)x＋3y＋a＝0，
由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在，
∴k1＝－eq \f(1,a)，k2＝eq \f(2－a,3)，
由于两条直线互相平行，故k1＝k2，
即－eq \f(1,a)＝eq \f(2－a,3)，解得a＝3或a＝－1，
又∵a＝3时，两条直线重合，∴a＝－1.
3．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称
答案 D
解析 该圆的圆心为(－a，a)在直线x＋y＝0上，
故该圆关于x＋y＝0对称，故选D.
4．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
答案 B
解析 圆心为(2，－8)，原点为(0,0)，
故所求的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
5．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0
答案 A
解析 由题意可知AB的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,2)，\f(2a＋1,2)))，
kAB＝eq \f(a－a＋1,a－a－1)＝－1，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB的中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为kl＝eq \f(－1,kAB)＝1，
所以直线l的方程为y－eq \f(2a＋1,2)＝x－eq \f(2a－1,2)，
即x－y＋1＝0.
6．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(9,4) D．2eq \r(3)
答案 C
解析 由圆C1与圆C2外切，
可得eq \r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.
根据基本不等式可知ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为eq \f(9,4).
二、多项选择题
7．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是( )
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
答案 AC
解析 存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误；
直线l1：x－y－1＝0过定点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)⇒k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故选项B正确；
当k＝－eq \f(1,2)时，直线l2的方程为eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)y－eq \f(1,2)＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故选项C错误；
两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D正确．
8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则点P到直线y＝x的距离可能为( )
A．4 B．2eq \r(2)＋1
C．2 D．2eq \r(2)－1
答案 BCD
解析 圆心C(3，－1)到直线x－y＝0的距离d1＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，
令点P到直线x－y＝0的距离为d2，
则d1－r≤d2≤d1＋r(r为圆C的半径)，
则2eq \r(2)－1≤d2≤2eq \r(2)＋1.故选BCD.
三、填空题
9．已知直线l1：y＝ax－1，直线l2：y＝x－3，若l1⊥l2，则a＝________.
答案 －1
解析 l1⊥l2 ，则k1·k2＝－1，即a×1＝－1，a＝－1.
10．直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的方程是__________．
答案 x－2y＋1＝0
解析 在对称直线上任取点(x0，y0)，则关于x＝1对称的点为(2－x0，y0)，此点在直线x＋2y－3＝0上，所以2－x0＋2y0－3＝0，所以直线方程为2y0－x0－1＝0，即x－2y＋1＝0.
11．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．
答案 30－10eq \r(5)
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
∴原点到圆心的距离为eq \r(5)，
则a2＋b2的最小值为(5－eq \r(5))2＝30－10eq \r(5).
12．已知过点(0,1)的直线l：xtan α－y－3tan β＝0的一个法向量为(2，－1)，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵过点(0，1)的直线l：xtan α－y－3tan β＝0的一个法向量为(2，－1)，
∴－1－3tan β＝0，tan α＝2，
∴tan β＝－eq \f(1,3)，tan α＝2，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(2－\f(1,3),1＋2×\f(1,3))＝1.
四、解答题
13．已知点A(0，－4)，B(2,0)，C(4,4)，D(－5,1)．
(1)判断A，B，C，D四点能否围成四边形，并说明理由；
(2)求△ACD的面积．
解 (1)因为kAB＝eq \f(0－－4,2－0)＝2，kBC＝eq \f(4－0,4－2)＝2，
即kAB＝kBC，
所以A，B，C三点共线，故A，B，C，D四点不能围成四边形．
(2)由(1)可知kAC＝2，所以直线AC的方程为y＝2x－4，
即2x－y－4＝0，
点D(－5,1)到直线AC的距离d＝eq \f(|2×－5－1－4|,\r(5))＝3eq \r(5)，
又|AC|＝eq \r(4－02＋[4－－4]2)＝4eq \r(5)，
所以△ACD的面积为eq \f(1,2)|AC|d＝eq \f(1,2)×4eq \r(5)×3eq \r(5)＝30.
14．已知直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋2x－y－7＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－3＝0，,2x－y－7＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1，))
可得直线l恒过定点P(4,1)．
(2)解 直线l在x轴，y轴上的截距相等，
令x＝0，解得y＝－eq \f(3m＋7,m＋1)；
令y＝0，解得x＝eq \f(3m＋7,m＋2)，
∴－eq \f(3m＋7,m＋1)＝eq \f(3m＋7,m＋2)(m≠－1且m≠－2)，
解得m＝－eq \f(3,2)或m＝－eq \f(7,3)，
∴直线l的方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)y－eq \f(5,2)＝0或－eq \f(1,3)x＋eq \f(4,3)y＝0，即x＋y－5＝0或x－4y＝0.
15．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心坐标分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
且61－m>0，即m<61.
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq \r(11)小于两圆圆心间距离5，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)
＝2eq \r(7).