高中数学2.1 坐标法学案及答案

这是一份高中数学2.1 坐标法学案及答案，共6页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是( )
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
答案 B
解析 ∵A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1，∴l1∥l2.
2.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A．8eq \r(3) cm B．2eq \r(3) cm
C．4eq \r(3) cm D．4 cm
答案 C
解析 a＝4，b＝2，故c＝2eq \r(3)，所以焦距为4eq \r(3).
3．已知圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是( )
A．1C．m>3 D．－3答案 D
解析 由题意可得圆C1的圆心为(0，－m)，半径为eq \r(2)，圆C2的圆心为(m,0)，半径为2eq \r(2)，
∵两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，
∴eq \r(2)<|C1C2|<3eq \r(2)，
∵|C1C2|＝eq \r(0－m2＋－m－02)＝eq \r(2)|m|，
∴eq \r(2)解得－34．已知抛物线C：y2＝8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 如图．
由y2＝8x⇒eq \f(p,2)＝2，根据抛物线第一定义，|PF|＝|PH|＝|PG|＋|GH|＝6⇒|PG|＝6－|GH|＝6－2＝4，则P到y轴的距离是4.
5．直线ax－y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞) B．[－1,3]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪[1，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
答案 C
解析 直线ax－y＋1＝0恒过定点C(0,1)，如图，
由于kAC＝eq \f(3－1,2－0)＝1，kBC＝eq \f(2－1,－3－0)＝－eq \f(1,3)，
又y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，
所以a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)．
6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，点C在椭圆上，且eq \(F2B2,\s\up6(——→))＝3eq \(F1C,\s\up6(—→))，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(5)－1,2)
答案 B
解析 由题意，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，B2(0，－b)，设C(x0，y0)，
因为eq \(F2B2,\s\up6(——→))＝3eq \(F1C,\s\up6(—→))，则(－c，－b)＝3(x0＋c，y0)，
可得x0＝－eq \f(4,3)c，y0＝－eq \f(b,3)，即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
因为C在椭圆上，所以eq \f(16c2,9a2)＋eq \f(\f(b2,9),b2)＝1，
即eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，所以离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
二、多项选择题
7．下列命题中正确的为( )
A．若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B．若两直线平行，则它们的斜率相等
C．若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D．若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1
答案 AC
解析 当直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，若k1＝k2，则l1∥l2；若k1k2＝－1，则l1⊥l2，可知A，C正确；当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知B错误；当两条直线一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，可知D错误．
8．若双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋4)＝1的焦距为8，则m的值为( )
A．8 B．6 C．－10 D．－8
答案 BC
解析 依题意，得c2＝16，∴a2＋b2＝16，
①当焦点在x轴上时，m＋m＋4＝16，∴m＝6.
②当焦点在y轴上时，原方程可化为eq \f(y2,－m－4)－eq \f(x2,－m)＝1，
∴－m－4－m＝16，∴m＝－10.
综上，m＝6或－10.
三、填空题
9．过点A(－1,3)，且与向量n＝(1,2)垂直的直线方程是________．(用一般式表示)
答案 x＋2y－5＝0
解析 因为直线与向量n＝(1,2)垂直，
所以直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，
又过点A(－1,3)，
所以所求直线方程为y－3＝－eq \f(1,2)(x＋1)，
即x＋2y－5＝0.
10．若直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，则实数m的值为________．
答案 3
解析 因为直线x－y＋1＝0与直线mx＋3y－1＝0互相垂直，
所以m－3＝0，解得m＝3.
11．如果直线ax－y＋3＝0被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长为4eq \r(5)，那么a的值为________．
答案 2或－eq \f(1,2)
解析 由x2＋y2－6x－8y＝0，
得(x－3)2＋(y－4)2＝25，
所以圆心为(3,4)，半径为r＝5.
又圆心(3,4)到直线的距离d＝eq \f(|3a－4＋3|,\r(a2＋1))，
故弦长＝2eq \r(r2－d2)＝4eq \r(5)，
则25－eq \f(3a－12,a2＋1)＝20，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2).
12．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，
所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).
四、解答题
13．已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＋7＝0，,2x＋y＋3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
∴M(－2,1)．
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1)．
(2)由已知得l3经过点P与点N，
∴l3的方程为eq \f(y－0,－1－0)＝eq \f(x－1,－2－1)，即x－3y－1＝0.
14．已知椭圆D：eq \f(x2,50)＋eq \f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为3，
所以eq \f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
15．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，且该椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2))).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值．
解 (1)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\r(3)，,\f(3,a2)＋\f(1,4b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，
则有eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，且y0≠0，
eq \(MF1,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(MF2,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)－x0，－y0)，
即eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋(－y0)(－y0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3＝0，①
而点M(x0，y0)在椭圆C上，则eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，②
取立①②消去xeq \\al(2,0)，得yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,3)，所以y0＝±eq \f(\r(3),3).