新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】模块综合试卷（二）

这是一份新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】模块综合试卷（二）

模块综合试卷(二)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．直线3x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是(　　)A．30° B．60° C．120° D．135°答案　B解析　直线的斜率为eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，对应的倾斜角为60°.2．“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案　C解析　若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”，可得(a－3)a＝a＋5，即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)，即a＝－1成立；若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0，故两直线平行成立．综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的充要条件．3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则线段PQ的长度最大值是(　　)A.eq \f(\r(5),2) B．3eq \r(5)－5C．3eq \r(5)＋5 D．6eq \r(5)答案　C解析　圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2.∴两圆的圆心距为|C1C2|＝eq \r(－2－42＋－1－22)＝eq \r(36＋9)＝eq \r(45)＝3eq \r(5)>3＋2＝5，∴两圆外离，|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3eq \r(5)＋5.4．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \o(AO1,\s\up6(—→))，eq \o(AO2,\s\up6(—→))，eq \o(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，则x，y，z的值是(　　)A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq \f(1,2)C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2答案　A解析　eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB′,\s\up6(——→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD′,\s\up6(——→))＝eq \o(AO1,\s\up6(—→))＋eq \o(AO2,\s\up6(—→))＋eq \o(AO3,\s\up6(—→))，对比eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，可得x＝y＝z＝1.5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于(　　)A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)答案　C解析　如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)，eq \o(AB1,\s\up6(—→))＝(－1,0,2)，eq \o(BC1,\s\up6(—→))＝(0,1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝eq \f(|\o(AB1,\s\up6(—→))·\o(BC1,\s\up6(—→))|,|\o(AB1,\s\up6(—→))|·|\o(BC1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(4,\r(5)·\r(5))＝eq \f(4,5).∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为eq \f(4,5).6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(6),3)答案　C解析　建立空间直角坐标系如图，则C(1,1,0)，C1(1,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，所以eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1))，eq \o(CC1,\s\up6(—→))＝(0,0,1)，所以eq \o(CC1,\s\up6(—→))在eq \o(EC,\s\up6(→))上的投影的数量为eq \f(\o(CC1,\s\up6(—→))·\o(EC,\s\up6(→)),|\o(EC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－1,\r(1＋\f(1,4)＋1))＝－eq \f(2,3)，所以点C1到直线EC的距离d＝eq \r(|\o(CC1,\s\up6(—→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CC1,\s\up6(—→))·\o(EC,\s\up6(→)),|\o(EC,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).7．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1答案　A解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝－1，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝－2.))若直线AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意．所以直线AB的斜率存在，且kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，直线OM的斜率为kOM＝eq \f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－1，由于A，B两点都在椭圆E上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式作差得eq \f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq \f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，所以eq \f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq \f(b2,a2)，因为kAB＝kFM＝eq \f(0＋1,3－1)＝eq \f(1,2)，所以kABkOM＝eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b2,a2)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝18，,b2＝9，))因此椭圆E的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.8．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线与抛物线y2＝－8ax的准线的一个公共点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)答案　D解析　抛物线y2＝－8ax的准线为x＝2a，则不妨取P(2a，eq \r(3)b)，∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，而4a2＝|PF2|2＝(2a－c)2＋(eq \r(3)b)2＝4a2－4ac＋c2＋3(c2－a2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)A．(eq \o(A1A,\s\up6(—→))＋eq \o(A1D1,\s\up6(——→))＋eq \o(A1B1,\s\up6(——→)))2＝3(eq \o(A1B1,\s\up6(——→)))2B.eq \o(A1C,\s\up6(—→))·(eq \o(A1B1,\s\up6(——→))－eq \o(A1A,\s\up6(—→)))＝0C．向量eq \o(AD1,\s\up6(—→))与向量eq \o(A1B,\s\up6(—→))的夹角是60°D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AA1,\s\up6(—→))·eq \o(AD,\s\up6(→))|答案　AB解析　由向量的加法得到：eq \o(A1A,\s\up6(—→))＋eq \o(A1D1,\s\up6(——→))＋eq \o(A1B1,\s\up6(——→))＝eq \o(A1C,\s\up6(—→))，∵A1C2＝3A1Beq \o\al(2,1)，∴(eq \o(A1C,\s\up6(—→)))2＝3(eq \o(A1B1,\s\up6(——→)))2，∴A正确；∵eq \o(A1B1,\s\up6(——→))－eq \o(A1A,\s\up6(—→))＝eq \o(AB1,\s\up6(—→))，AB1⊥A1C，∴eq \o(A1C,\s\up6(—→))·AB1＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量eq \o(AD1,\s\up6(—→))与向量eq \o(A1B,\s\up6(—→))的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AA1,\s\up6(—→))＝0，故|eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AA1,\s\up6(—→))·eq \o(AD,\s\up6(→))|＝0，因此D不正确．10．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k2－1)－eq \f(y2,3－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)A．当k＝4时，曲线C为椭圆，其焦距为8B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq \f(2\r(3),3)C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D．不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆答案　BD解析　当k＝4时，曲线C的方程为eq \f(x2,15)＋y2＝1，故曲线C为椭圆，其焦距为2eq \r(15－1)＝2eq \r(14)，故A错误；当k＝2时，曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，故曲线C为双曲线，此时a＝eq \r(3)，b＝1，所以c＝2，故离心率为e＝eq \f(2\r(3),3)，故B正确；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2－1<0，,3－k<0，))无解，故C错误；若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2－1>0，,3－k<0，,k2－10，则等价于eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PC,\s\up6(→))>0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)>0，又由0≤λ≤1，解得0≤λ<eq \f(1,3)，因此，λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).故选CD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线y＝2x＋2，那么该直线的单位方向向量d＝________.答案　±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))解析　取直线的方向向量a＝±(1,2)．∴该直线的单位方向向量d＝eq \f(a,|a|)＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则m的值为_________．答案　2　±1解析　直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0,2)，r＝eq \r(2)，圆心C到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)≥2，即弦长|AB|的最小值为2.S△ABC＝eq \f(1,2)r2sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2)，即∠ACB＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).若∠ACB＝eq \f(π,3)，则圆心到弦AB的距离为eq \f(\r(6),2)>1＝|CM|，故不符合题意；若∠ACB＝eq \f(2π,3)，圆心到直线的距离为eq \f(\r(2),2)<1＝|CM|，设弦AB的中点为N，又|CM|＝1，故∠NCM＝eq \f(π,4)，则m的值为±1.15．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________．答案　30°解析　如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，从而eq \o(CA,\s\up6(→))＝(2a,0,0)，eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \o(CB,\s\up6(→))＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AP,\s\up6(→))＝0，))可得n＝(0,1,1)，则cos〈n，eq \o(CB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\o(CB,\s\up6(→)),|n|·|\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.16．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得|PO|＝eq \f(1,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率的取值范围为________．答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析　由P落在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，则b≤|PO|≤a.又|PO|＝eq \f(1,2)|F1F2|，得|PO|＝c，∴b≤c0，b>0)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋b2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2＋a2＝r2，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))解得r2＝2，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))(负值舍去)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1－eq \r(2)，符合题意，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－1＋eq \r(2))＋3，即kx－y－k(1－eq \r(2))＋3＝0，则eq \f(|k－1－k1－\r(2)＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝－eq \f(\r(2),4).所以圆的切线方程为x＋2eq \r(2)y－5eq \r(2)－1＝0.综上，切线方程为x＝1－eq \r(2)和x＋2eq \r(2)y－5eq \r(2)－1＝0.19.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC＝eq \r(2)AB，AB＝BC＝2，D为BB1的中点．(1)证明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；(2)求平面ADC1与平面ABC所成角的大小．(1)证明　∵A1A＝AC＝eq \r(2)AB，AB＝BC＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，由勾股定理知，AB⊥BC，如图所示建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，B1(0,0,2eq \r(2))，A1(0,2,2eq \r(2))，C1(2,0,2eq \r(2))，设E为AC1的中点，则E(1,1，eq \r(2))，又D是BB1的中点，∴D(0,0，eq \r(2))，故eq \o(DE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(CC1,\s\up6(→))＝(0,0,2eq \r(2))，eq \o(AC1,\s\up6(→))＝(2，－2,2eq \r(2))，∵eq \o(DE,\s\up6(→))·eq \o(AC1,\s\up6(→))＝0，eq \o(DE,\s\up6(→))·eq \o(CC1,\s\up6(→))＝0，∴DE⊥AC1，DE⊥CC1，AC1∩CC1＝C1.∴DE⊥平面ACC1A1，DE⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面ACC1A1.(2)解　设平面ADC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，且eq \o(AD,\s\up6(→))＝(0，－2，eq \r(2))，eq \o(AC1,\s\up6(→))＝(2，－2,2eq \r(2))，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))·n1＝0，,\o(AC1,\s\up6(→))·n1＝0，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2y＋\r(2)z＝0，,2x－2y＋2\r(2)z＝0，))令y＝eq \r(2)，则n1＝(－eq \r(2)，eq \r(2)，2)，显然平面ABC的一个法向量为n2＝(0,0,1)，设平面ADC1与平面ABC所成角的大小为θ，∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(|2|,\r(2＋2＋4))＝eq \f(\r(2),2)⇒θ＝eq \f(π,4)，故平面ADC1与平面ABC所成角的大小为eq \f(π,4).20.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，BD＝2eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(π,3).(1)求证：BD⊥PD；(2)求直线PD与平面PBC所成角的余弦值．(1)证明　在△ABD中，AD＝2，BD＝2eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(π,3)，易得AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD.(2)如图，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OE⊥BC交CB的延长线于点E，连接PE，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示．则D(－1,0,0)，B(－1,2eq \r(3)，0)，P(0,0，eq \r(3))，C(－3,2eq \r(3)，0)．所以eq \o(BP,\s\up6(→))＝(1，－2eq \r(3)，eq \r(3))，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq \o(PD,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq \r(3))．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)．则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BP,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＝0，,x－2\r(3)y＋\r(3)z＝0，))令y＝1，则z＝2，x＝0.所以n＝(0,1,2)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，则sin θ＝eq \f(|\o(PD,\s\up6(→))·n|,|\o(PD,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(2\r(3),2×\r(5))＝eq \f(\r(15),5)，所以cos θ＝eq \f(\r(10),5)，即直线PD与平面PBC所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5).21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为4eq \r(2)，直线l与抛物线C相交于M，N两点，点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4.(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l过定点，并求出定点坐标．(1)解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))解得x1＝0，x2＝2p，因为直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为4eq \r(2)，所以eq \r(2)|2p－0|＝4eq \r(2)，p>0，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明　设直线l的方程为x＝my＋b，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋b，,y2＝4x，))得y2－4my－4b＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b，因为点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4，所以eq \f(y1－2,x1－1)＋eq \f(y2－2,x2－1)＝4，而x1＝eq \f(y\o\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\o\al(2,2),4)，化简得y1＋y2＋y1y2＝0，所以4m－4b＝0，即b＝m，所以直线l的方程为x＝m(y＋1)，所以直线l过定点，定点坐标为(0，－1)．22．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点F的距离与右焦点F到直线x＝eq \f(a2,c)的距离相等，且椭圆C的通径(过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦)长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B.①当|BF|＝eq \f(6,7)时，求直线l的方程；②求证：eq \f(|PQ|,|BF|)为定值．(1)解　由条件得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋c＝\f(a2,c)－c，,\f(2b2,a)＝3，))又b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)因为直线l过点F(1,0)，且与坐标轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设线段PQ的中点为M，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0，所以x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，所以线段PQ的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,3＋4k2)，－\f(3k,3＋4k2)))，所以线段PQ的垂直平分线方程为y＋eq \f(3k,3＋4k2)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4k2,3＋4k2)))，令y＝0，得x＝eq \f(k2,3＋4k2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2,3＋4k2)，0)).①解　当|BF|＝eq \f(6,7)时，则1－eq \f(k2,3＋4k2)＝eq \f(6,7)，解得k＝±1，所以直线l的方程为x±y－1＝0.②证明　因为|PQ|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(121＋k2,3＋4k2)，|BF|＝1－eq \f(k2,3＋4k2)＝eq \f(3＋3k2,3＋4k2)，所以eq \f(|PQ|,|BF|)＝4为定值．