新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第2章 章末复习课

章末复习课

一、充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用

1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．

2．由充要条件求参数范围常转化为集合间的关系解决．

例1　(1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由x>3或x<0，推不出x>4，

但当x>4时，不等式x>3或x<0成立．

(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤4a，或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－6≤x<－1}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　∵q是p的充分不必要条件，

∴BA，

∴或

解得a≤－6或－≤a＜0，

∴a的取值范围为.

反思感悟　充要条件的常用判断方法

(1)定义法：直接判断“若p则q”以及“若q则p”的真假．

(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．

跟踪训练1　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　|x－2|<1⇔1<x<3，

由于{x|1<x<3}是{x|x>1，或x<－2}的真子集，

所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件．

(2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．

答案　a>2

解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，

应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}，

所以－a<－2，解得a>2.

二、充要条件的证明或探求

1．将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程．

2．掌握充要条件的证明，提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，

则a×12＋b×1＋c＝0，

即a＋b＋c＝0.

再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，

代入方程ax2＋bx＋c＝0中，

可得ax2＋bx－a－b＝0，

即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故

方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

反思感悟　充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．

(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．

跟踪训练2　已知a＋b≠0，求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件．

解　由a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即

a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)

＝(a＋b－1)(a＋b)＝0，

又∵a＋b≠0，

∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1等价于a2＋b2－a－b＋2ab＝0.

∴在a＋b≠0的条件下，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.

三、全称量词命题与存在量词命题

1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．

2．通过含有量词的命题的否定培养逻辑推理素养．

例3　已知命题p：∃x，y∈Z，x2＋y2＝2 022，则綈p为(　　)

A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 022

B．∃x，y∈Z，x2＋y2≠2 022

C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 022

D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2 022

答案　A

解析　含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为全称量词，再将结论否定即可．所以綈p为∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 022.

反思感悟　对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论．

跟踪训练3　命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0”的否定是______________．

答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2x＋6＝0

解析　把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

四、与全称(存在)量词命题有关的参数问题

1．以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对命题进行化简，然后依据命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

2．利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和转化与化归的思想方法．

例4　命题p：∀x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p和q一真一假，求实数a的取值范围．

解　若p为真命题，则a<1；

若q为真命题，则a2>4，

通过图象知，即a>2或a<－2.

因为p与q一真一假，

当p为真，q为假时，

所以－2≤a<1，

当q为真，p为假时，

所以a>2，

综上所述，实数a的取值范围是[－2,1)∪(2，＋∞)．

反思感悟　(1)全称量词命题为真等价于恒成立问题，存在量词命题为真等价于能成立问题．

(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．

跟踪训练4　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围．

解　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；

当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.

综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}．