苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性第2课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性第2课时学案，共13页。学案主要包含了利用奇偶性与单调性比较大小，根据奇偶性求函数的解析式，利用单调性与奇偶性解不等式等内容，欢迎下载使用。

一、利用奇偶性与单调性比较大小
问题 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示 奇函数在(1,2)上为减函数，偶函数在(1,2)上为增函数．
知识梳理
函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a例1 设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
答案 <
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上是减函数，
∴f(5)二、根据奇偶性求函数的解析式
知识梳理
用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
例2 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，
∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1).
延伸探究
1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，
即f(x)－g(x)＝eq \f(1,x＋1).②
联立①②得f(x)＝eq \f(x,x2－1)，g(x)＝eq \f(1,x2－1).
反思感悟 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练2 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
解 设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，
∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x，x<0，,x2－x，x≥0.))
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
三、利用单调性与奇偶性解不等式
例3 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)m，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))
解得－1≤m所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
跟踪训练3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则eq \f(fx,x)<0的解集为____________________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
1．知识清单：
(1)根据奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．已知奇函数在(－∞，0)上是增函数，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
答案 B
解析 ∵f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(1)2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B．f(2)C．f(2)D．f(－1)答案 B
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－eq \f(3,2)<－1，
∴f(2)＝f(－2)3．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则满足条件f(2x＋1)A．(－∞，2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
C．(2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
答案 A
解析 奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以由f(2x＋1)4．已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 x－1
解析 当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1.
1. 已知定义在区间[－7,7]上的偶函数，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个增区间
B．这个函数有两个减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案 C
解析 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个增区间；有三个减区间；在其定义域内最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A．最大值－eq \f(1,4) B．最大值eq \f(1,4)
C．最小值－eq \f(1,4) D．最小值eq \f(1,4)
答案 B
解析 方法一 当x<0时，f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，所以f(x)有最小值－eq \f(1,4)，
因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).
方法二 (直接法)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
所以f(x)有最大值eq \f(1,4).
3．(多选)若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．增区间为(－∞，0] D．减区间为(－∞，0]
答案 AC
解析 因为函数为偶函数，
所以a＋2＝0，a＝－2，
所以该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
5．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上( )
A．是增函数且最小值为－5
B．是增函数且最大值为－5
C．是减函数且最小值为－5
D．是减函数且最大值为－5
答案 A
解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
6．(多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A．f(0)>f(1) B．f(2)C．f(－3)f(3)
答案 AD
解析 由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)成立，f(－1)>f(－3)＝f(3)成立，其他选项不成立．
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以|x－1|<2，解得－2所以－18．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)．则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－1，－3≤x<0，,－xx＋1，0≤x≤3))
解析 设－3－x>0，
则有f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)，
又因为f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝x(x－1)，
又f(0)＝0，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－1，－3≤x<0，,－xx＋1，0≤x≤3.))
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，
即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－x<1，,－1<2x－1<1，,1－x>2x－1，))解得0∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(010．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋3＝x2＋4x＋3，
又∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2＋4x＋3.
∴当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,x2＋4x＋3，x<0.))
(2)由(1)知f(x)＝(x－2)2－1(x≥0)在[0,2]上单调递减，函数f(x)是偶函数．
∴f(x)＝x2＋4x＋3(x<0)在[－2,0]上单调递增．
又∵f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
∴[－1，a－2]⊆[－2,0]．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤0，))则1故实数a的取值范围是(1,2]．
11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，eq \f(fx－f－x,x)<0，
∴eq \f(fx,x)<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，eq \f(fx,x)<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)是减函数且f(－1)＝0，
∴当x<－1时，f(x)>0，eq \f(fx,x)<0.
综上，eq \f(fx,x)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．函数y＝f(x)在[0,2]上是增函数，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))答案 B
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
又f(x)在[0,2]上是增函数，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝________；若f(m＋1)答案 x2－x－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2，
所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2；
f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增，
则f(m＋1)解得m所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
15．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 023)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 D
解析 因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，
所以当x>0时，
f(2 023)＝f(2 022)＝f(2 021)＝…＝f(1)，
又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．