高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度学案设计，共12页。学案主要包含了用弧度制表示角的范围，弧度制下的扇形的弧长与面积公式等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，大家看过《水浒传》吗？在这些类似的古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右．据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课．
一、弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化
问题1 我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示 不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系．
知识梳理
1．弧度制的概念
(1)度量角的两种制度
(2)弧度数的计算
2．角度与弧度的互化
注意点：
(1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关；
(2)①弧度单位rad可以省略；
②在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
例1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq \f(2π,9).
解 (1)72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5).
(2)－300°＝－300×eq \f(π,180)＝－eq \f(5π,3).
(3)2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360,π)))°.
(4)－eq \f(2π,9)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.
反思感悟 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数．
跟踪训练1 已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解 α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)，
θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12)，
∵eq \f(π,12)二、用弧度制表示角的范围
例2 将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解 －1 125°＝－1 125×eq \f(π,180)
＝－eq \f(25π,4)＝－8π＋eq \f(7π,4)，
其中eq \f(3π,2)所以－1 125°是第四象限角．
延伸探究 若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．
解 依题意得，与α终边相同的角为eq \f(7π,4)＋2kπ，k∈Z，
由－4π≤eq \f(7π,4)＋2kπ≤4π，k∈Z，
知k＝－2，－1,0,1，
所以所求角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,4)，－\f(π,4)，\f(7π,4)，\f(15π,4))).
反思感悟 用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))
答案 D
解析 150°＝150×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,6)，故与150°角终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合．
解 终边落在射线OA上的角为θ＝k·360°＋135°，k∈Z，即θ＝eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝k·360°－30°，k∈Z，
即θ＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)≤θ≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).
三、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题2 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
提示 圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝eq \f(nπR,180)，S＝eq \f(nπR2,360).
知识梳理
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(|α|≤2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)rl＝eq \f(1,2)|α|r2.
例3 (1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
解 设扇形弧长为l，
因为圆心角72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5) rad，
所以扇形弧长l＝|α|·r＝eq \f(2π,5)×20＝8π，
于是，扇形的面积S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×8π×20＝80π.
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形圆心角为θ(|θ|≤2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝10， ①,\f(1,2)lr＝4. ②))
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8，此时，|θ|＝8 rad>2π rad，舍去．
当r＝4时，l＝2，此时，|θ|＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2) rad.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为eq \f(1,2) rad.
反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角，|α|≤2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．
解 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
∵216°＝216×eq \f(π,180)＝eq \f(6π,5)，
∴l＝|α|·r＝eq \f(6π,5)r＝30π，解得r＝25，
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×30π×25＝375π.
1．知识清单：
(1)弧度制的概念．
(2)弧度与角度的相互转化．
(3)扇形的弧长与面积的计算．
2．方法归纳：消元法．
3．常见误区：弧度与角度混用．
1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案 ABC
解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
2．下列命题中的假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案 D
解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题．
3．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－eq \f(π,4)－8π B.eq \f(7π,4)－8π
C.eq \f(π,4)－10π D.eq \f(7π,4)－10π
答案 D
解析 －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为eq \f(7π,4)－10π.
4．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为______．
答案 eq \f(9,2)
解析 设扇形的半径为r，弧长为l，
由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝9，,l＝r，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝3，))
所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(9,2).
1．角eq \f(25π,12)终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 eq \f(25π,12)＝2π＋eq \f(π,12)，eq \f(π,12)是第一象限角，故eq \f(25π,12)是第一象限角．
2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 ∵|α|＝eq \f(l,r).
∴当r，l均变为原来的2倍时，|α|不变．
而S＝eq \f(1,2)|α|r2中，
∵|α|不变，∴S变为原来的4倍．
3．(多选)下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
答案 CD
解析 A，B中弧度与角度混用，不正确；
eq \f(9π,4)＝2π＋eq \f(π,4)，所以eq \f(9π,4)与eq \f(π,4)终边相同．
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°终边相同，即与eq \f(9π,4)终边相同．
4．时针经过一小时，转过了( )
A.eq \f(π,6) rad B．－eq \f(π,6) rad C.eq \f(π,12) rad D．－eq \f(π,12) rad
答案 B
解析 时针经过一小时，转过－30°，
－30°＝－eq \f(π,6) rad.
5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
6．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 AD
解析 设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝eq \f(π,3)或2π－2α＝eq \f(π,3)，
解得α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(5π,6).
7．－135°化为弧度为________，eq \f(11π,3)化为角度为________．
答案 －eq \f(3π,4) 660°
解析 －135°＝－135×eq \f(π,180)＝－eq \f(3π,4)；
eq \f(11π,3)＝eq \f(11,3)×180°＝660°.
8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
答案 eq \f(3,2) 48
解析 |α|＝eq \f(l,r)＝eq \f(12,8)＝eq \f(3,2)，
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×12×8＝48.
9．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．
解 (1)因为α＝1 200°＝1 200×eq \f(π,180)＝eq \f(20π,3)＝3×2π＋eq \f(2π,3)，
所以角α与eq \f(2π,3)的终边相同，
又eq \f(π,2)所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋eq \f(2π,3)≤0，得－eq \f(7,3)≤k≤－eq \f(1,3).
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.
故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－eq \f(10π,3)，－eq \f(4π,3).
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝eq \f(π,3).
(2)由(1)可知α＝eq \f(π,3)，r＝10，
∴弧长l＝|α|·r＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)，
∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)，
而S△AOB＝eq \f(1,2)·AB·eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝25eq \r(3)，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3))).
11．(多选)下列表示中正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z))))
C．终边在坐标轴上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))
D．终边在直线y＝x上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
答案 ABC
解析 A，B显然正确．
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，
其并集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，故C正确；
对于D，终边在直线y＝x上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z))))，
其并集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，故D不正确．
12．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )
A.eq \f(5π,11) B.eq \f(44π,5)
C.eq \f(5π,22) D.eq \f(22π,5)
答案 B
解析 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过eq \f(88,20)周，小链轮转过的弧度是eq \f(88,20)×2π＝eq \f(44π,5).
13．若角α与角x＋eq \f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq \f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
答案 D
解析 因为α＝x＋eq \f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，
β＝x－eq \f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，
所以α－β＝eq \f(π,2)＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.
所以α－β＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．
14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2)．
答案 9
解析 eq \f(2π,3)＝120°，根据题意，
弦＝2×4×sin eq \f(120°,2)＝4eq \r(3)(m)，
矢＝4－2＝2(m)，
因此弧田面积＝eq \f(1,2)×(弦×矢＋矢2)
＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2≈9(m2)．
15.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约eq \f(π,4)米，肩宽约为eq \f(π,8)米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )
A．1.012米 B．2.043米
C．1.768米 D．2.945米
答案 C
解析 弓形所在的扇形如图所示，则“弓”所在弧长为eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，故扇形的圆心角为eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，故AB＝eq \r(2)×eq \f(5,4)≈eq \f(5,4)×1.414＝1.767 5≈1.768.
16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解 如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，
所以t＝4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，
Q点走过的弧长为eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3).角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度制
定义
用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \f(180,π)度≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数