数学必修第一册7.2 三角函数概念第2课时学案及答案

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这是一份数学必修第一册7.2 三角函数概念第2课时学案及答案，共12页。学案主要包含了三角函数线，利用三角函数线解不等式等内容，欢迎下载使用。

导语
角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数)．作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
一、三角函数线
问题1 你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α＝eq \f(y,x)怎样表示？
提示如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin α，OM＝x＝cs α；过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT，有tan α＝AT＝eq \f(y,x).
问题2 当α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tan α＝eq \f(y,x)怎样表示呢？
提示用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1,0)作单位圆的切线，则有向线段MP，OM，AT就分别等于sin α，cs α，tan α.
知识梳理
三角函数线
(1)有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.
(2)三角函数线
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cs α.如图．过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线，即tan α＝AT＝eq \f(y,x).如图．
注意点：
(1)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；
(2)当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线：
(1)eq \f(2,3)π；(2)－eq \f(9,4)π.
解如图．有向线段MP，OM，AT分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线．
反思感悟作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线；作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线：
(1)eq \f(π,6)；(2)－eq \f(5π,6).
解如图，有向线段MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．
二、利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较：sin eq \f(2π,3)和sin eq \f(4π,5)，cs eq \f(2π,3)和cs eq \f(4π,5)，tan eq \f(2π,3)和tan eq \f(4π,5)的大小．
解如图，sin eq \f(2π,3)＝MP，
cs eq \f(2π,3)＝OM，tan eq \f(2π,3)＝AT，sin eq \f(4π,5)＝M′P′，
cs eq \f(4π,5)＝OM′，tan eq \f(4π,5)＝AT′.
∴sin eq \f(2π,3)>sin eq \f(4π,5)，cs eq \f(2π,3)>cs eq \f(4π,5)，
tan eq \f(2π,3)反思感悟利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步
(1)角的位置要“对号入座”．
(2)比较三角函数线的长度．
(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2 (多选)依据三角函数线作出如下四个判断，其中判断正确的有( )
A．sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(7π,6)
B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4)
C．tan eq \f(π,8)>tan eq \f(3π,8)
D．sin eq \f(3π,5)>sin eq \f(4π,5)
答案 BD
解析分别作出各角的三角函数线(图略)，
可知sin eq \f(π,6)＝－sin eq \f(7π,6)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4)，
tan eq \f(π,8)sin eq \f(3π,5)>sin eq \f(4π,5)，
所以BD正确．
三、利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(2)cs α≤－eq \f(1,2).
解 (1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).
(2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).
反思感悟利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
跟踪训练3 已知点P(sin α－cs α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围．
解由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α>cs α，,tan α>0.))
如图，
由三角函数线可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)<α<\f(5,4)π，,0<α<\f(π,2)或π<α<\f(3,2)π.))
∴eq \f(π,4)<α1．知识清单：
(1)三角函数线的概念．
(2)利用三角函数线比较大小．
(3)利用三角函数线解不等式(组)．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的．
1．角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)有相同的( )
A．正弦值 B．余弦值
C．正切线 D．不能确定
答案 C
解析因为角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)的终边互为反向延长线，故由三角函数线的定义知两角有相同的正切线．
2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在直线y＝x上
C．在y轴上
D．在直线y＝x或y＝－x上
答案 A
解析由题意可知cs α＝±1，
因此，角α的终边在x轴上．
3．使不等式eq \r(2)－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
答案 C
解析由题意知sin x≤eq \f(\r(2),2)，利用单位圆解得2kπ－eq \f(5π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
4．若角α的余弦线长度为eq \f(1,2)，且方向与x轴负方向相同，则cs α＝________.
答案－eq \f(1,2)
解析因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，
所以cs α<0，所以cs α＝－eq \f(1,2).
1．若MP和OM分别是角eq \f(7π,6)的正弦线和余弦线，则( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
答案 C
解析在单位圆中画出角eq \f(7π,6)的正弦线MP和余弦线OM，如图所示，则OM2．(多选)下列说法错误的有( )
A．正弦线MP也可写成PM
B．三角函数线表示的值都只能是非负值
C．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
D．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点
答案 AB
解析三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒，三角函数线表示的值也可取正值、负值、0.
3．已知eq \f(13π,5)的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A．MP与AT的方向相同
B．MP＝AT
C．MP>0，AT<0
D．MP<0，AT>0
答案 C
解析三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的，MP＝sin eq \f(13π,5)>0，AT＝tan eq \f(13π,5)<0.
4．设a＝cs eq \f(2π,5)，b＝sin eq \f(2π,5)，c＝tan eq \f(2π,5)，则( )
A．aC．b答案 B
解析作出角eq \f(2π,5)的三角函数线如图所示，
由图象知cs eq \f(2π,5)5．使sin x≤cs x成立的x的一个变化区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)π，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)π，\f(3,4)π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))
答案 A
解析当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin x≤cs x.
6．已知A是△ABC的一个内角，且tan A－eq \r(3)≥0，则sin A的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
答案 A
解析由tan A－eq \r(3)≥0，得tan A≥eq \r(3)，
又0由tan A＝eq \r(3)，得A＝eq \f(π,3).
作出eq \f(π,3)的正切线AT，如图所示．
由图可得，当eq \f(π,3)≤A故sin A的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)).
7．若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为________________．
答案 eq \f(3π,4)或eq \f(7π,4)
解析由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上．又0<α<2π，
∴α＝eq \f(3π,4)或eq \f(7π,4).
8．在[－π，π]上，满足sin x≤eq \f(1,2)的x的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
解析如图所示，
因为sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，
所以满足sin x≤eq \f(1,2)的x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).
9．设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式．
(1)sin2α＋cs2α＝1；(2)tan α＝eq \f(sin α,cs α).
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？
证明如图，α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.
(1)在Rt△PMO中，
MP2＋OM2＝1，
即sin2α＋cs2α＝1.
(2)∵△PMO∽△TAO，∴eq \f(AT,OA)＝eq \f(MP,OM)，
即tan α＝eq \f(sin α,cs α).
若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立．
10．已知－eq \f(1,2)≤cs θ解图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即eq \b\lc\{\rc\} (\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)≤θ<2kπ－\f(π,6)，或2kπ＋\f(π,6)<θ≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).
11．如果eq \f(π,4)<αA．cs αB．tan αC．sin αD．cs α答案 A
解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM12．根据三角函数线写出正弦函数在[0，π]上的值域为( )
A．R B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－1,0]
答案 B
解析利用三角函数线可以得到正弦函数在[0，π]上的值域为[0,1]．
13．sin 4，cs 4，tan 4的大小关系是( )
A．sin 4B．tan 4C．cs 4D．sin 4答案 D
解析作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则MP＝sin α，OM＝cs α，AT＝tan α，其中虚线表示的是角eq \f(5π,4)的终边，
∵4>eq \f(5π,4)，则MP即sin 414．不等式tan α＋eq \f(\r(3),3)>0的解集是________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)<α解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴所求解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)<α15．把sin eq \f(π,12)，sin eq \f(5π,12)，cs eq \f(5π,7)，tan eq \f(5π,12)由小到大排列为________________．
答案 cs eq \f(5π,7)解析如图可知，sin eq \f(π,12)＝M1P1>0，
sin eq \f(5π,12)＝M2P2>0，
tan eq \f(5π,12)＝AT>0，
cs eq \f(5π,7)＝OM3<0.
而0∴0∴cs eq \f(5π,7)16．当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求证：sin α<α证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线分别为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝eq \f(1,2)OA·MP＝eq \f(1,2)sin α，
S扇形AOP＝eq \f(1,2)|α|OA2＝eq \f(1,2)α，
S△AOT＝eq \f(1,2)OA·AT＝eq \f(1,2)tan α，
又S△AOP所以eq \f(1,2)sin α即sin α<α