苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第1课时导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第1课时导学案，共12页。学案主要包含了利用同角三角函数的关系求值，利用同角三角函数的基本关系化简，一般恒等式的证明等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
导语
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”．在我们看来南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．
一、利用同角三角函数的关系求值
问题1 观察下表，你能发现什么？
提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cs α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？
提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.
知识梳理
同角三角函数的基本关系
例1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝ .
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2， ①,sin2α＋cs2α＝1， ②))
由①得sin α＝2cs α，
代入②得4cs2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(1,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).
(2)已知cs α＝－eq \f(3,5)，求sin α，tan α的值．
解 ∵cs α＝－eq \f(3,5)<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3).
反思感悟 (1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练1 已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
解 ∵sin α＋3cs α＝0，
∴sin α＝－3cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，
即10cs2α＝1，
∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).
又由sin α＝－3cs α，可知sin α与cs α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3\r(10),10)；
当角α的终边在第四象限时，
cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3\r(10),10).
二、利用同角三角函数的基本关系化简
问题3 你能发现同角三角函数的哪些变形形式？
提示 sin2α＋cs2α＝1
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α；,cs2α＝1－sin2α；,sin α＝±\r(1－cs2α)；,cs α＝±\r(1－sin2α)；,sin α±cs α2＝1±2sin αcs α.))
tan α＝eq \f(sin α,cs α)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α；,cs α＝\f(sin α,tan α).))
例2 化简下列各式：
(1)eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°))；
(2)eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)).
解 (1)原式＝eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°))
＝eq \f(\r(cs 10°＋sin 10°2),cs 10°＋sin 10°)＝eq \f(|cs 10°＋sin 10°|,cs 10°＋sin 10°)
＝1.
(2)原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(\f(sin α,cs α)－sin α,\f(sin α,cs α)＋sin α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,|sin α|)＝±1.
反思感悟 利用同角三角函数基本关系化简的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
跟踪训练2 化简：eq \f(2cs2α－1,1－2sin2α)＋(1＋tan2α)cs2α.
解 原式＝eq \f(2cs2α－sin2α＋cs2α,sin2α＋cs2α－2sin2α)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin2α,cs2α)))cs2α
＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α－sin2α)＋eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α)·cs2α
＝1＋1＝2.
三、一般恒等式的证明
例3 求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
证明 方法一
因为右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)
＝左边．
所以原等式成立．
方法二 因为左边＝eq \f(tan αsin α,tan α－tan αcs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)，
右边＝eq \f(tan α＋tan αcs α,tan αsin α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)
＝eq \f(1－cs2α,sin α1－cs α)
＝eq \f(sin2α,sin α1－cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)，
所以左边＝右边，原等式成立．
反思感悟 证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”．
跟踪训练3 求证：eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1).
证明 方法一
左边＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)
＝eq \f(sin α＋cs α2,sin2α－cs2α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝右边．
所以原等式成立．
方法二 右边＝eq \f(\f(sin α,cs α)＋1,\f(sin α,cs α)－1)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(sin α＋cs α2,sin α－cs αsin α＋cs α)
＝eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝左边．
所以原等式成立．
1．知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系．
(2)利用同角三角函数的基本关系化简．
(3)对一般恒等式的证明．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin2α－cs2α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 因为sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs2α＝1－sin2α＝eq \f(4,5)，
则原式＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5).
2．化简eq \f(cs \f(3π,5),\r(1－sin2\f(3π,5)))的值为( )
A．tan eq \f(3π,5) B．－eq \f(cs \f(3π,5),sin \f(3π,5))
C．1 D．－1
答案 D
解析 原式＝eq \f(cs \f(3π,5),\r(cs2\f(3π,5)))＝eq \f(cs \f(3π,5),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,5))))＝－1.
3．已知sin φ＝－eq \f(3,5)，且|φ|A．－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 ∵sin φ＝－eq \f(3,5)，
∴cs2φ＝1－sin2φ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2＝eq \f(16,25)，
又|φ|0，
∴cs φ＝eq \f(4,5)，
∴tan φ＝eq \f(sin φ,cs φ)＝eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq \f(3,4).
4．若2sin α＋cs α＝0，则eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 2sin α＋cs α＝0，∴tan α＝－eq \f(1,2)，
原式＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)
＝eq \f(sin α·－2sin α,1－sin2α)
＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α＝－eq \f(1,2).
1．若α是第四象限角，tan α ＝－eq \f(5,12)，则sin α等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)
答案 D
解析 因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12)，
sin2α＋cs2α＝1，
所以sin α＝±eq \f(5,13).
因为α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(5,13).
2．(多选)已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，则m的值可以等于( )
A．0 B．4 C．6 D．8
答案 AD
解析 根据同角三角函数的基本关系sin2 θ＋cs2 θ＝1，将sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)代入，解得m＝0或m＝8.
3．化简sin2α＋cs4α＋sin2αcs2α的结果是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cs2α(cs2α＋sin2α)
＝sin2α＋cs2α＝1.
4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cs4θ＝eq \f(5,9)，则sin θcs θ的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 A
解析 θ为第三象限角，则sin θ<0，cs θ<0，
sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ
＝1－2sin2θcs2θ＝eq \f(5,9)，
∴sin2θcs2θ＝eq \f(2,9)，
又sin θcs θ>0，
∴sin θcs θ＝eq \f(\r(2),3).
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cs α等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 由三角函数定义得tan α＝eq \f(3,2sin α)，即eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,2sin α)，得3cs α＝2sin2α＝2(1－cs2α)，解得cs α＝eq \f(1,2)或cs α＝－2(舍去)．
6．(多选)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( )
A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α)
B．cs α＝－eq \r(1－sin2α)
C．sin α＝－eq \r(1－cs2α)
D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)
答案 ACD
解析 由商数关系可知A，D均不正确；当α为第二象限角时， cs α<0，sin α>0，故B正确，C不正确．
7．若α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，则sin α＝ ，tan α＝ .
答案 －eq \f(\r(6),3) eq \r(2)
解析 ∵α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(6),3)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \r(2).
8．已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin α·eq \r(1＋\f(1,tan2α))＝ .
答案 0
解析 原式＝
cs α·eq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋sin α·eq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))
＝cs α·eq \f(1,|cs α|)＋sin α·eq \f(1,|sin α|).
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cs α<0，
所以原式＝－1＋1＝0.
9．已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限角，求sin α，cs α的值．
解 由tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，得sin α＝eq \f(4,3)cs α.①
又sin2α＋cs2α＝1，②
由①②得eq \f(16,9)cs2α＋cs2α＝1，即cs2α＝eq \f(9,25).
又α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,3)cs α＝－eq \f(4,5).
10．(1)化简：tan α eq \r(\f(1,sin2α)－1)(其中α为第二象限角)；
(2)求证：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·tan α,1＋cs α)＝1.
(1)解 因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cs α<0.
原式＝tan α eq \r(\f(1,sin2α)－1)
＝tan α eq \r(\f(1－sin2α,sin2α))
＝tan α eq \r(\f(cs2α,sin2α))
＝eq \f(sin α,cs α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
(2)证明 eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·tan α,1＋cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·\f(sin α,cs α),1＋cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(sin α,1＋cs α)
＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.
11．若tan α＝m，α是第二象限角，则cs α等于( )
A．－eq \f(1,\r(m2＋1)) B.eq \f(1,\r(m2＋1))
C．－eq \f(m,\r(m2＋1)) D.eq \f(m,\r(m2＋1))
答案 A
解析 ∵α是第二象限角，且tan α＝m，
∴m<0，sin α>0，cs α<0，mcs α＝sin α，
代入平方关系得到m2cs2α＋cs2α＝1，
∴cs2α＝eq \f(1,m2＋1)，
∴cs α＝－eq \f(1,\r(m2＋1)).
12．若eq \f(sin α,1＋cs α)＝－eq \f(2,3)，则eq \f(sin α,1－cs α)的值是( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
答案 D
解析 由sin2α＋cs2α＝1，
得1－cs2α＝sin2α，
∴eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
∵eq \f(sin α,1＋cs α)＝－eq \f(2,3)，
∴eq \f(1－cs α,sin α)＝－eq \f(2,3)，
即eq \f(sin α,1－cs α)＝－eq \f(3,2).
13．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是( )
A．sin α B．cs α
C．1＋sin α D．1＋cs α
答案 A
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)
＝eq \f(1＋cs α,sin α)(1－cs α)
＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.
14．已知tan α＝cs α，那么sin α＝ .
答案 eq \f(－1＋\r(5),2)
解析 由于tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝cs α，
则sin α＝cs2α，
所以sin α＝1－sin2α，
解得sin α＝eq \f(－1±\r(5),2).
又sin α＝cs2α>0，
所以sin α＝eq \f(－1＋\r(5),2).
15．化简：eq \f(1－cs4α－sin4α,1＋cs4α－sin4α)＝ .
答案 sin2α
解析 原式＝eq \f(1－cs4α－sin4α,1＋cs2α－sin2αcs2α＋sin2α)
＝eq \f(1－cs2α1＋cs2α－sin4α,1＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(sin2α1＋cs2α－sin4α,1＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(sin2α1＋cs2α－sin2α,1＋cs2α－sin2α)＝sin2α.
16．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求eq \f(1,sin2α)＋eq \f(9,cs2α)的最小值．
解 ∵sin2α＋cs2α＝1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin2α)＋\f(9,cs2α)))(sin2α＋cs2α)＝10＋eq \f(9sin2α,cs2α)＋eq \f(cs2α,sin2α)≥10＋2eq \r(\f(9sin2α,cs2α)·\f(cs2α,sin2α))＝16，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，当且仅当sin α＝eq \f(\r(3),3)cs α时，等号成立，
∴eq \f(1,sin2α)＋eq \f(9,cs2α)的最小值是16.α
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
sin α
0
eq \f(1,2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(3),2)
1
cs α
1
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(1,2)
0
tan α
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
不存在
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切