数学必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念第2课时学案

这是一份数学必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念第2课时学案，共14页。学案主要包含了弦切互化求值，sin θ±cs θ型求值，条件恒等式的证明等内容，欢迎下载使用。

一、弦切互化求值
例1 已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；
(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；
(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.
解 (1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).
(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(32－2×3－1,4－3×32)
＝－eq \f(2,23).
(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)
＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40).
反思感悟 (1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
跟踪训练1 已知tan α＝eq \f(4,3)，求eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)的值．
解 方法一 (代入法)
∵tan α＝eq \f(4,3)，∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，
∴sin α＝eq \f(4,3)cs α，
∴原式＝eq \f(\f(4,3)cs α－3cs α,\f(4,3)cs α＋cs α)＝eq \f(－\f(5,3)cs α,\f(7cs α,3))＝－eq \f(5,7).
方法二 (弦化切) eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)
＝eq \f(\f(4,3)－3,\f(4,3)＋1)＝－eq \f(5,7).
二、sin θ±cs θ型求值
例2 已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，求sin θ－cs θ.
解 方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，
得cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ.
又sin2θ＋cs2θ＝1，
代入得sin2θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－sin θ))2＝1，
整理得sin2θ－eq \f(1,5)sin θ－eq \f(12,25)＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(3,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(4,5)))＝0，
解得sin θ＝－eq \f(3,5)或sin θ＝eq \f(4,5).
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝eq \f(4,5).
所以cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5)，
sin θ－cs θ＝eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(7,5).
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，两边平方，
整理得sin θcs θ＝－eq \f(12,25)<0，所以cs θ<0，
所以sin θ－cs θ>0，
又(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ
＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，
所以sin θ－cs θ＝eq \f(7,5).
反思感悟 sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的关系
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．
跟踪训练2 若sin θ－cs θ＝eq \r(2)，则tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝ .
答案 －2
解析 由已知得(sin θ－cs θ)2＝2，
∴sin θcs θ＝－eq \f(1,2).
∴tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)
＝eq \f(1,sin θcs θ)＝－2.
三、条件恒等式的证明
例3 若eq \f(3π,2)<α<2π，求证：eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＋eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＝－eq \f(2,sin α).
证明 ∵eq \f(3π,2)<α<2π，∴sin α<0.
左边＝eq \r(\f(1－cs α2,1＋cs α1－cs α))＋eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs α1＋cs α))
＝eq \r(\f(1－cs α2,sin2α))＋eq \r(\f(1＋cs α2,sin2α))
＝eq \f(|1－cs α|,|sin α|)＋eq \f(|1＋cs α|,|sin α|)
＝－eq \f(1－cs α,sin a)－eq \f(1＋cs α,sin α)
＝－eq \f(2,sin α)＝右边．
∴原等式成立．
反思感悟 对于有条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符号、消元等．
跟踪训练3 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以eq \f(sin2α,cs2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2β,cs2β)＋1))，
所以eq \f(1－cs2α,cs2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs2β,cs2β)＋1))，
所以eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β)，
所以cs2β＝2cs2α，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
1．知识清单：
(1)弦切互化求值．
(2)对sin θ±cs θ型求值．
(3)对条件恒等式证明．
2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法．
3．常见误区：忽视α所在的象限进行分类讨论．
1．若tan α＝2，则eq \f(2sin α－cs α,sin α＋2cs α)的值为( )
A．0 B.eq \f(3,4) C．1 D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 eq \f(2sin α－cs α,sin α＋2cs α)＝eq \f(2tan α－1,tan α＋2)＝eq \f(3,4).
2．若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcs θ等于( )
A．10 B．±eq \f(2,5) C．2 D.eq \f(2,5)
答案 D
解析 已知tan θ＝2，
则2sin2θ－3sin θcs θ
＝eq \f(2sin2θ－3sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(2tan2θ－3tan θ,tan2θ＋1)
＝eq \f(2×22－3×2,22＋1)＝eq \f(2,5).
3．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin αcs α等于( )
A.eq \f(\r(7),4) B．－eq \f(9,16) C．－eq \f(9,32) D.eq \f(9,32)
答案 C
解析 由题意得(sin α－cs α)2＝eq \f(25,16)，
即sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
又sin2α＋cs2α＝1，
∴1－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
∴sin αcs α＝－eq \f(9,32).
4．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 D
解析 由题意知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin θ－cs θ>0，
sin θ－cs θ＝eq \r(sin θ－cs θ2)
＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(\r(5),2).
1．已知eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(5,16)，则tan α等于( )
A．0 B．1
C．－eq \f(1,3) D．－3
答案 C
解析 方法一 上下同除以cs α得
eq \f(tan α＋2,5－tan α)＝eq \f(5,16)，
解得tan α＝－eq \f(1,3).
方法二 eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(5,16)，
即16(sin α＋2cs α)＝5(5cs α－sin α)，
整理得21sin α＝－7cs α，
∴tan α＝－eq \f(1,3).
2．已知sin α＝3cs α，则eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α等于( )
A．－eq \f(17,13) B.eq \f(29,40)
C.eq \f(7,13) D．－eq \f(29,40)
答案 B
解析 ∵sin α＝3cs α，∴tan α＝3，
∴eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40).
3．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,4)))，则sin θ－cs θ等于( )
A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 B
解析 由(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，
得2sin θcs θ＝eq \f(7,9)，
则(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
由0<θ知sin θ－cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).
4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cs α＝eq \f(2,3)，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵sin α＋cs α＝eq \f(2,3)，
∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(4,9)，
即1＋2sin αcs α＝eq \f(4,9)，
∴sin α·cs α＝－eq \f(5,18)<0，
∵α是三角形一内角，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，即三角形为钝角三角形．
5．(多选)下列计算或化简结果正确的有( )
A．若sin θ·cs θ＝eq \f(1,2)，则tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝2
B．若tan x＝eq \f(1,2)，则eq \f(2sin x,cs x－sin x)＝1
C．若sin α＝eq \f(2\r(5),5)，则tan α＝2
D．若α为第一象限角，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(sin α,\r(1－cs2α))＝2
答案 AD
解析 A正确，tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝2；
B不正确，eq \f(2sin x,cs x－sin x)＝eq \f(2tan x,1－tan x)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,2))＝2；
C不正确，∵α的范围不确定，∴tan α的符号不确定；
D正确，∵α为第一象限角，
∴原式＝eq \f(cs α,cs α)＋eq \f(sin α,sin α)＝2.
6．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，则sin α－cs α的值为( )
A．－eq \f(17,13) B．－eq \f(7,13) C.eq \f(7,13) D.eq \f(12,13)
答案 BC
解析 ∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，
又∵(sin α＋cs α)2
＝sin2α＋cs2α＋2sin αcs α
＝1＋2sin αcs α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,13)))2，
解得2sin αcs α＝eq \f(120,169)，
∵sin αcs α>0且α∈(0，π)，
∴sin α>0，cs α>0，
∴sin α－cs α符号不确定，
∴(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α
＝1－eq \f(120,169)＝eq \f(49,169)，
∴sin α－cs α＝±eq \f(7,13).
7．若0<θ<π，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，则sin θ－cs θ＝ .
答案 eq \f(17,13)
解析 ∵0<θ<π，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
∴sin θ>0，cs θ<0.
∴sin θ－cs θ>0.
∴sin θ－cs θ＝eq \r(sin θ－cs θ2)
＝eq \r(1－2sin θcs θ)
＝eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(60,169))))
＝eq \r(\f(289,169))＝eq \f(17,13).
8．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝ .
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 因为tan α＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，
即2sin α－sin2α＝cs2α，
所以2sin α＝sin2α＋cs2α＝1，
即sin α＝eq \f(1,2)，
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α＝eq \f(π,6)，
则tan α＝eq \f(\r(3),3).
9．已知tan α＝eq \f(2,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)；
(2)eq \f(1,sin αcs α).
解 (1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)
＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＋eq \f(1＋tan α,1－tan α)
＝eq \f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq \f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq \f(26,5).
(2)eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)
＝eq \f(tan2α＋1,tan α)＝eq \f(13,6).
10．已知eq \f(cs4A,cs2B)＋eq \f(sin4A,sin2B)＝1，求证eq \f(cs4B,cs2A)＋eq \f(sin4B,sin2A)＝1.
证明 设sin2A＝m(0sin2B＝n(0则cs2A＝1－m，cs2B＝1－n.
由eq \f(cs4A,cs2B)＋eq \f(sin4A,sin2B)＝1，得eq \f(1－m2,1－n)＋eq \f(m2,n)＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴eq \f(cs4B,cs2A)＋eq \f(sin4B,sin2A)＝eq \f(1－n2,1－m)＋eq \f(n2,m)＝1－n＋n＝1.
11．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，2sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，则tan α等于( )
A．－2 B．2
C.eq \f(2,11) D．－eq \f(2,11)
答案 A
解析 (2sin α＋cs α)2
＝4sin2α＋cs2α＋4sin αcs α
＝eq \f(4sin2α＋cs2α＋4sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(4tan2α＋1＋4tan α,tan2α＋1)＝eq \f(9,5)，
所以11tan2α＋20tan α－4＝0，
解得tan α＝－2或tan α＝eq \f(2,11)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以tan α＝－2.
12．若eq \f(sin2θ＋4,cs θ＋1)＝2，则(cs θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )
A．0 B．2 C．4 D．0或4
答案 C
解析 若eq \f(sin2θ＋4,cs θ＋1)＝2，
则sin2θ＋2＝2cs θ，
即1－cs2θ＋2＝2cs θ，
即(cs θ－1)(cs θ＋3)＝0，
解得cs θ＝1或cs θ＝－3(舍去)，
故有cs θ＝1，sin θ＝0.
∴(cs θ＋3)(sin θ＋1)＝4×1＝4.
13．在△ABC中，cs A＋sin A＝eq \f(\r(5),2)，则cs A－sin A等于( )
A．±eq \f(\r(3),2) B．±eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 因为cs A＋sin A＝eq \f(\r(5),2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A＋sin A))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2，
即sin2A＋2sin Acs A＋cs2A＝eq \f(5,4)，
所以1＋2sin Acs A＝eq \f(5,4)，
所以2sin Acs A＝eq \f(1,4)，
所以(cs A－sin A)2
＝cs2A－2sin Acs A＋sin2A
＝1－2sin Acs A＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
由2sin Acs A＝eq \f(1,4)>0，
可得A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
当A∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，cs A≥sin A，
则cs A－sin A＝eq \f(\r(3),2)，
当A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，cs A则cs A－sin A＝－eq \f(\r(3),2)，
综上，cs A－sin A＝±eq \f(\r(3),2).
14．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,2)(0<θ<π)，则sin θcs θ＝ ，sin θ－cs θ＝ .
答案 －eq \f(3,8) eq \f(\r(7),2)
解析 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(1,2)(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cs θ)2＝eq \f(1,4)，
即sin2θ＋2sin θcs θ＋cs2θ＝eq \f(1,4)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(3,8).
由上知θ为第二象限角，所以sin θ－cs θ>0，
所以sin θ－cs θ
＝eq \r(sin θ＋cs θ2－4sin θcs θ)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8))))＝eq \f(\r(7),2).
15．若sin4θ＋cs4θ＝1，则sin θ＋cs θ的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
答案 D
解析 sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θ·cs2θ
＝1－2sin2θ·cs2θ＝1，
∴sin θ·cs θ＝0.
当sin θ＝0时，cs θ＝±1，
∴sin θ＋cs θ＝±1；
当cs θ＝0时，sin θ＝±1，
∴sin θ＋cs θ＝±1.
16．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cs α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解 假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵sin α<0，cs α<0，
∴sin α＋cs α＝－eq \f(3,4)m<0，②
sin αcs α＝eq \f(2m＋1,8)>0.③
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(sin α＋cs α)2－2sin αcs α＝1.
把②③代入上式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m))2－2×eq \f(2m＋1,8)＝1，
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－eq \f(10,9).
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
m2＝－eq \f(10,9)不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．