高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第2课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第2课时学案设计，共13页。学案主要包含了诱导公式五，给角求值，利用公式进行化简等内容，欢迎下载使用。
导语
回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．
一、诱导公式五、六
问题1 回顾上节课我们推导公式四的过程．
提示 利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点．
问题2 如图所示，我们作了点P1关于直线y＝x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？
提示 如图，过点P1向x轴作垂线，垂足为A，过点P5向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP1＝∠BOP5＝α，故OP5为eq \f(π,2)－α的终边，以OP5为终边的角γ可以表示为γ＝2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))(k∈Z)，
在Rt△AOP1和Rt△BOP5中，OP1＝OP5，故△AOP1≌△BOP5，即P1的横坐标与P5的纵坐标相同，P1的纵坐标与P5的横坐标相同，若点P1的坐标为(x，y)，则点P5的坐标为(y，x)，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α＝y，cs α＝x；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝y＝sin α，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝x＝cs α.
知识梳理
诱导公式五、六
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化；
(2)运用公式时，把α“看成锐角”；
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．
二、给角(值)求值
例1 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)
C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
答案 B
解析 sin 239°tan 149°
＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cs 31°(－tan 31°)＝sin 31°
＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为 ．
答案 eq \f(1,2)
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).
延伸探究
1．将本例(2)的条件改为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．
解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).
2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值．
解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(π,3)－α是第二象限角，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)＋α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(3),2).
反思感悟 利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq \f(π,6)＋α与eq \f(5π,6)－α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么cs α等于( )
A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)
答案 C
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,5).
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值等于( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)－α))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,3).
三、利用公式进行化简、证明
例2 求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1).
证明 左边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝右边．
所以原等式成立．
反思感悟 三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练2 化简eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))).
解 eq \f(tan－αsin－αcs－α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(－tan α－sin αcs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin2α,－cs αsin α)
＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α.
1．知识清单：
(1)诱导公式五、六．
(2)利用诱导公式进行化简、求值与证明．
2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．
3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．
1．已知cs 78°约等于0.20，那么sin 12°约等于( )
A．0.20 B．0.80
C．0.88 D．0.95
答案 A
解析 sin 12°＝sin(90°－78°)＝cs 78°≈0.20.
2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ0，
∴sin θ