苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质第3课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质第3课时学案，共15页。学案主要包含了正弦函数，利用正弦函数等内容，欢迎下载使用。
一、正弦函数、余弦函数的单调性
问题1 观察正弦函数y＝sin x的函数图象，你能写出y＝sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调区间吗？
提示
由上图我们发现，区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))正好是函数的一个周期，其中在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上函数单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数单调递减．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性
例1 求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的单调区间．
解 令z＝x－eq \f(π,3)，则y＝2sin z.
∵z＝x－eq \f(π,3)是增函数，
∴y＝2sin z是增(减)函数时，
函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))也是增(减)函数．
由z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
得x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，
故函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的单调区间．
解 由例题知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤eq \f(5π,6)或eq \f(11π,6)≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(11π,6))).
∴函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)，2π))，减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(11π,6))).
2．求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的增区间．
解 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
令z＝x－eq \f(π,3)，
而y＝－sin z的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z，
∴令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(11π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋2kπ，\f(11π,6)＋2kπ))，k∈Z.
反思感悟 求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1 求函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的单调区间．
解 令2kπ－π≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－eq \f(5π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
∴增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
令2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋eq \f(π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(7π,6)(k∈Z)，
∴kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)(k∈Z)，
∴减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．
∴函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)，
减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．
二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 比较大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20π,7)))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3))).
解 (1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上是减函数，且90°