苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念学案

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A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
答案 B
解析 设移动φ个单位，得到y＝tan 2x的图象，
y＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ－\f(π,6)))，
所以2φ－eq \f(π,6)＝0，所以φ＝eq \f(π,12)，
所以需要向左平移eq \f(π,12)个单位长度．
2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,4)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到的函数的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,16)，0))
答案 A
解析 将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,4)))的图象按照条件变换后得到y＝sin 2x的图象．令2x＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，当k＝1时，x＝eq \f(π,2)，即函数的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)).
3．(多选)已知如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象上的一段，则( )
A．ω＝eq \f(10,11) B．ω＝2
C．φ＝eq \f(π,6) D．φ＝－eq \f(π,6)
答案 BC
解析 ∵T＝eq \f(11π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝π，T＝eq \f(2π,ω)，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．
把最高点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，2))代入上式，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝1，
∴eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，φ＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，∵|φ|4．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )
A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)
C．sin(x－1) D．sin(1－x)
答案 D
解析 图象可以看作是将函数y＝sin x的图象向左平移π－1个单位长度得到的，所以f(x)＝sin(x＋π－1)，即f(x)＝sin(x＋π－1)＝－sin(x－1)＝sin(1－x)．
5．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(2π,3)))(x∈R，ω>0)的最小正周期为eq \f(π,2)，要得到函数g(x)＝sin ωx的图象只需将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移eq \f(7π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(7π,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(7π,24)个单位长度
D．向右平移eq \f(7π,24)个单位长度
答案 D
解析 由题意得，ω＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，
f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(7π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7π,24))))).g(x)＝sin 4x，
∴将y＝f(x)图象向右平移eq \f(7π,24)个单位长度即可得到y＝g(x)的图象，故选D.
6．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,6)))的初相位是________；振幅是______．
答案 eq \f(π,6) 2
解析 由诱导公式得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,6)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，故所求的初相位为eq \f(π,6)，振幅是2.
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，\f(3π,2)<φ<2π))的最小值是－3，周期为eq \f(π,3)，且它的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(3,2)))，则这个函数的解析式为________________．
答案 y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(11π,6)))
解析 由题意得，A＝3，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)，3sin φ＝－eq \f(3,2)，又eq \f(3π,2)<φ<2π，所以ω＝6，φ＝eq \f(11π,6)，
故这个函数的解析式为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(11π,6))).
8．给出以下六种图象变换方法：
(1)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变；(2)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；(3)图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度；(4)图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度；(5)图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度；(6)图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))的图象，那么这两种变换的序号依次是__________．(填上一种你认为正确的答案即可)
答案 (4)(2)或(2)(6)
解析 y＝sin xeq \(――→,\s\up7(4))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))eq \(――→,\s\up7(2))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))；或y＝sin xeq \(――→,\s\up7(2))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \(――→,\s\up7(6))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4))).
9．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运行________次．
答案 25
解析 由I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))知ω＝100π rad/s，
该电流的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100π)＝0.02 s，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为n＝eq \f(t,T)＝eq \f(0.5,0.02)＝25.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象过点(0,1)，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)，然后再将所得到的图象沿x轴正方向平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出长度为一个周期的图象．
解 (1)由已知，易得A＝2，eq \f(T,2)＝(x0＋3π)－x0＝3π，得T＝6π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,6π)＝eq \f(1,3)，
把(0,1)代入解析式y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋φ))中得，
2sin φ＝1，即sin φ＝eq \f(1,2)，又|φ|所以φ＝eq \f(π,6)，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6))).
(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象沿x轴正方向平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象．
用“五点法”作图如下．
列表：
图象如图：
x－eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,6)
eq \f(2π,3)
eq \f(7π,6)
eq \f(5π,3)
eq \f(13π,6)
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))
0
2
0
－2
0