新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第8章 章末复习课

章末复习课

一、函数的零点

1．在函数零点存在定理中，要注意三点：

(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

3．解决函数零点的求解与判定，要认真领会零点的概念及判断方法，同时重点提升数学抽象和直观想象的核心素养．

例1　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－∞，1)

C．(－1,0)   D．[－1,0)

答案　D

解析　由3x－1＝0可得x＝>0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为x≤0时，ex∈(0,1]；又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.

反思感悟　判断函数存在零点的方法

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．

(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．

(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，求实数b的取值范围．

解　由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，

函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，即两函数图象有两个交点，即0<b<2.

二、二分法

1．函数的零点就是对应方程的解，所以二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解．

2．用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．

3．二分法求函数的零点或方程的近似解是对零点存在定理的应用，同时提升了逻辑推理与数学运算的核心素养．

例2　求方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)．

解　在同一平面直角坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，

可以发现方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．

设f(x)＝lg x＋x－2，

则f(x)的零点为x0.

用计算器计算，得f(1)＜0，f(2)＞0⇒x0∈(1,2)；

f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x0∈(1.5,2)；

f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x0∈(1.75,2)；

f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x0∈(1.75，1.875)；

f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x0∈(1.75，1.812 5)．

因为1.75与1.812 5的近似值都为1.8.

所以方程的近似解可取为1.8.

反思感悟　用二分法求方程近似解的关注点

(1)理论依据：函数零点存在定理．

(2)方法：构造函数，通过求函数零点近似值解决．

(3)表示：借助表格或数轴表示，会使求解过程显得更清晰．

(4)注意：要随时检验有根区间(a，b)的端点值，在精确到同一数位下的近似值是否相等．

跟踪训练2　判断方程2x3－4x2－3x＋3＝0在[0,1]内是否有解，若有，则利用二分法求出该方程在[0,1]内的一个近似解．(精确到0.1)

解　设f(x)＝2x3－4x2－3x＋3，且零点为x0.

∵f(0)＝3>0，f(1)＝－2<0，

∴原方程在[0,1]内有解．

取[0,1]的中点0.5，且f(0.5)＝0.75>0，

∴x0∈[0.5,1]．

取[0.5,1]的中点0.75，

且f(0.75)≈－0.656<0，

∴x0∈[0.5,0.75]．

取[0.5,0.75]的中点0.625，

且f(0.625)≈0.05>0，

∴x0∈[0.625,0.75]．

取[0.625,0.75]的中点0.687 5，

且f(0.687 5)≈－0.3<0.

∴x0∈[0.625,0.687 5]，

同理x0∈[0.625,0.656 25]，

x0∈[0.625,0.640 625]．

由于0.625与0.640 625精确到0.1的近似值都是0.6，

∴原方程的近似解为0.6.

三、函数模型的应用

1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．

2．在构建函数模型时，要根据实际情况灵活选取函数模型，要认真审题，读懂题意，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，要注意培养直观想象与数学建模的核心素养．

例3　某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：

甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；

乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．

哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)

解　按甲方案，每年利息100×10%＝10，

5年后本息合计150.00万元；

按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．

故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．

反思感悟　函数模型的选取

(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．

(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．

跟踪训练3　植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用散点图直观表示．现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是(　　)

A．y＝kax＋b(k＞0，a＞1)

B．y＝klogax＋b(k＞0，a＞1)

C．y＝＋b(k＞0)

D．y＝ax2＋bx＋c(a＞0)

答案　B

解析　由散点图可知函数单调递增，但是趋于平缓．选项A，a∈(1，＋∞)，它在(0，＋∞)上单调递增且递增速率变大，故A错误；选项B，a∈(1，＋∞)，它在(0，＋∞)上单调递增且递增速率变小，B正确；选项C，当k＞0时，y＝在(0，＋∞)上单调递减，C错误；选项D，当a＞0时，它的图象开口向上，与散点图不相符，D错误．