新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第24练　函数的应用

第24练　函数的应用

1．(多选)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，下列结论错误的是(　　)

A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点

B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点

D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点

答案　ABD

解析　由已知得f(x)唯一的零点在区间(0,2)内．因此可能在(0,1)内，也可能在(1,2)内，也可能恰好为1，所以ABD均错．由于此零点是唯一的，函数f(x)在区间[2,16)内无零点，故C正确．

2．某厂日生产手套总成本y元与手套日产量x副的解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日生产手套至少为(　　)

A．200副   B．400副

C．600副   D．800副

答案　D

解析　由题意知，10x≥5x＋4 000，所以x≥800.

3．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

答案　B

解析　设f(x)＝x3－x－2，易知f(x)为增函数且f(1)<0，f(2)>0，所以f(x)＝0的解在(1,2)内，即y＝x3与y＝x－2的图象的交点的横坐标在(1,2)内．

4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发，体积会缩小，刚放进的新樟脑丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的解析式为：V＝a·e－kt.已知新樟脑丸经过50天后，体积变为a.若一个新樟脑丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125   B．100

C．75   D．50

答案　C

解析　由已知得a＝a·e－50k，

所以e－k＝.

设经过t1天后，一个新樟脑丸体积变为a，

则a＝，

所以＝，

所以＝，t1＝75.

5．已知函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[a，b]，都有<0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，，又f ＝0，则函数f(x)的零点为(　　)

A．－6   B．－3

C．－   D．－

答案　C

解析　由二分法的定义和已知，

得解得b＝0，a＝－12，

或

解得a＝9，b＝3(a>b故舍去)，

故函数f(x)的零点为＝－.

6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，f(0.718 75)>0即可得出方程的一个近似解为______．(精确到0.1)

答案　0.7

解析　因为0.687 5和0.718 75的近似值都为0.7，所以方程f(x)＝0精确到0.1的近似解为0.7.

7．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是________．

答案　2

解析　作出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，由图象可知y＝ln x与y＝的图象有两个交点．

8．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋120x，要使利润获得最大值，则产量应为________件．

答案　20

解析　由二次函数解析式y＝－3x2＋120x

＝－3(x－20)2＋1 200可知，

当x＝20时，y取得最大值．

9．某地野生微甘菊的面积与时间的函数关系的图象，如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生微甘菊的面积就会超过30 m2；

③设野生微甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；

④野生微甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有________(填序号)．

答案　①②③

解析　因为其关系为指数函数，

图象过(2,4)，(3,8)(4,16)，可得S＝2t，

所以指数函数的底数为2，故①正确；

当t＝5时，S＝32>30，故②正确；

因为t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

所以有t1＋t2＝t3，故③正确；

根据图象的变化快慢不同知④不正确，

综上可知①②③正确．

10．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2022年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0<x<1)．

(1)设第n(n∈N*)年(2022年记为第1年)的年产能为2021年的a倍，请用a，n表示x；

(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2021年的年产能的25%?

(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)

解　(1)依题意得(1－x)n＝a，

则1－x＝，

所以x＝1－(n∈N*)．

(2)设第m年的年产能不超过2021年的年产能的25%，

则(1－10%)m≤25%，

即m≤，mlg ≤lg ，

m(2lg 3－1)≤－2lg 2，

m≥.

因为≈≈13.1，

所以m≥13.1.

又m∈N*，

所以m的最小值为14，

所以至少要到2035年才能使年产能不超过2021年的年产能的25%.