2022_2023学年新教材高中数学湘教版必修第一册章末质量检测三函数的概念与性质

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章末质量检测(三)　函数的概念与性质考试时间：120分钟　 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下图中可以表示以x为自变量的函数图象是(　　)　　2．函数f(x)＝ eq \f(1,\r(x2－x)) 的定义域为(　　)A．(0，1) B．[0，1]C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)3．已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－3，则f(1)的值为(　　)A．0 B．1 C．2 D．34．设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\r(x)，00时，f(x)＝x2－ax，且f(－1)＝2，则a＝(　　)A．－1 B．0 C．1 D．27．已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(1)＝2，则xf(x)<2的解集为(　　)A．(0，1) B．[0，1) C．(－1，1) D．(－1，0)8．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(a,x)，x≤－1,（3－2a）x＋2，x>－1)))在(－∞，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　)A．3个交点的横坐标之和为0 B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C．f(0)＝0 D．f(0)的值与函数解析式有关10．函数y＝ eq \f(x＋2,x－1)(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是(　　)A．最小值为 eq \f(7,4) B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值11．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是(　　)A．f(x)＝ eq \f(1,x) B．f(x)＝－2x C．f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0,－x2，x>0))) D．f(x)＝x＋ eq \f(1,x)12．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x2＋x，x≥0，)))g(x)＝x2－7，则(　　)A．f(x)是增函数 B．g(x)是偶函数C．f(f(1))＝3 D．f(g(1))＝－7三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．若函数f(x)＝ eq \f(x＋a,x2＋bx＋1)在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________．14．函数f( eq \r(x)－1)＝x＋1，则f(x)＝________(注明定义域).15．一位少年能将圆周率π准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率π小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，设y＝f(n)，n∈N*.则y＝f(n)的值域为________．16．某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：则一户居民使用物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为______________________；若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为________千克．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)是一次函数，且f(2x)＋f(3x＋1)＝－5x＋9，求f(x)的表达式．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq \f(6,x－1)－ eq \r(x＋4).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．19．(本小题满分12分)已知函数，(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的值域及单调递增区间．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq \f(ax＋1,x＋2)，(1)若该函数在区间(－2，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．(2)若a＝－1，求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．21．(本小题满分12分)若f(x)为R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝x2－2x.(1)求f(x)在R上的解析式；(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性，并用定义证明；(3)解关于x的不等式f(ax－a)＋f(－x－2)＞0.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．(2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围．(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．章末质量检测(三)　函数的概念与性质1．解析：根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除，故选C.答案：C2．解析：由题意知：x2－x>0，解得x<0或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).答案：D3．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－3，因此 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,kb＋b＝－3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－1))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝3，))所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3.当f(x)＝2x－1时，f(1)＝1；当f(x)＝－2x＋3时，f(1)＝1.综上，f(1)＝1.故选B.答案：B4．解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＝1，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))))＝f(1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－1))＝0.故选A.答案：A5．解析：因为f(x)＋f(－x)＝ax3＋bx－4＋a(－x)3＋b(－x)－4＝－8，所以f(x)＝－8－f(－x).故f(2)＝－8－f(－2)＝－10.故选D.答案：D6．解析：因为函数y＝f(x)是R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1－a＝2，解得a＝－1.故选A.答案：A7．解析：令F(x)＝xf(x)，依题意f(x)是R上递增的奇函数，所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，即F(x)为偶函数，任取x1>x2>0，则f(x1)>f(x2)>f(0)＝0，则x1f(x1)>x2f(x2)，所以F(x1)－F(x2)＝x1f(x1)－x2f(x2)>0，故F(x)在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减，由于f(1)＝2，所以xf(x)<2⇔xf(x)<1·f(1)⇔F(x)－1))是R上的增函数，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,3－2a>0,a≤2a－3＋2))，解得a∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，故选C.答案：C9．解析：由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(－x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确．答案：AC10．解析：函数y＝ eq \f(x＋2,x－1)＝1＋ eq \f(3,x－1)在[2，5)上单调递减，即在x＝2处取得最大值4，由于x＝5取不到，则最小值取不到．答案：BD11．解析：对于A选项，函数f(x)＝ eq \f(1,x)为奇函数，但在定义域内不是减函数，A选项中的函数不合乎要求；对于B选项，函数f(x)＝－2x为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；对于C选项，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝－f(x)，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2＝x2＝－f(x)，又f(0)＝0，所以，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0,－x2，x>0)))为奇函数，当x≤0时，函数f(x)＝x2单调递减；当x>0时，函数f(x)＝－x2单调递减．由于函数f(x)在R上连续，所以，函数f(x)在R上为减函数，C选项中的函数合乎要求；对于D选项，函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－x＋ eq \f(1,－x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)为奇函数，∵f(2)＝ eq \f(5,2)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)不是减函数，D选项中的函数不合乎要求．故选BC.答案：BC12．解析：对于函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x2＋x，x≥0，)))当x<0时，f(x)＝x－1显然单调递增；当x≥0时，f(x)＝x2＋x是开口向上，对称轴为x＝－ eq \f(1,2)的二次函数，所以在x≥0上单调递增；且0－1<02＋0，所以函数f(x)在定义域内是增函数；A正确；又f(1)＝1＋1＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝4＋2＝6，故C错；对于函数g(x)＝x2－7，g(－x)＝(－x)2－7＝x2－7＝g(x)，所以g(x)是偶函数，B正确；又g(1)＝1－7＝－6，所以f(g(1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6))＝－6－1＝－7，D正确；故选ABD.答案：ABD13．解析：∵f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0，∴f(x)＝ eq \f(x,x2＋bx＋1)，又f(－1)＝－f(1)，∴ eq \f(－1,2－b)＝－ eq \f(1,2＋b)，解得b＝0，∴f(x)＝ eq \f(x,x2＋1).答案：f(x)＝ eq \f(x,x2＋1)14．解析：令 eq \r(x)－1＝t，则x＝(t＋1)2，t≥－1，所以f(t)＝(t＋1)2＋1＝t2＋2t＋2，t≥－1，所以f(x)＝x2＋2x＋2(x≥－1).答案：x2＋2x＋2(x≥－1)15．解析：根据函数的定义可知，每一个n都对应圆周率上的唯一的数字y，即对任意的n，y的值总为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以值域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．答案：{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}16．解析：(1)当0＜x≤10时，y＝6x，当10＜x≤20时，y＝6×10＋8(x－10)＝8x－20，当x＞20时，y＝6×10＋8×10＋10(x－20)＝10x－60，所以函数的解析式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x，020))，(2)由函数的解析式分析可得，只有8x－20＝100，解得x＝15，故该户的年用量为15千克，答案：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x，020))　1517．解析：由题意，设一次函数的解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为f(2x)＋f(3x＋1)＝－5x＋9，可得2kx＋b＋k(3x＋1)＋b＝－5x＋9，整理得5kx＋k＋2b＝－5x＋9，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5k＝－5,k＋2b＝9))，解得k＝－1，b＝5，所以函数的表达式为f(x)＝－x＋5.18．解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞).(2)f(－1)＝ eq \f(6,－2)－ eq \r(－1＋4)＝－3－ eq \r(3).f(12)＝ eq \f(6,12－1)－ eq \r(12＋4)＝ eq \f(6,11)－4＝－ eq \f(38,11).19．解析：(1)函数f(x)的图象如下，(2)根据函数f(x)的图象可知，f(x)的值域为[－1，3]，单调递增区间为(－1，0)，(2，5].20．解析：(1)因为函数f(x)＝ eq \f(ax＋1,x＋2)＝ eq \f(a（x＋2）＋1－2a,x＋2)＝a＋ eq \f(1－2a,x＋2)在区间(－2，＋∞)上是减函数，所以1－2a>0，解得a< eq \f(1,2)，所以a的取值范围 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).(2)当a＝－1时，f(x)＝ eq \f(－x＋1,x＋2)＝－1＋ eq \f(3,x＋2)，则f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递减，因为[1，4]⊆(－2，＋∞)，所以f(x)在[1，4]的最大值是f(1)＝ eq \f(－1＋1,1＋2)＝0，最小值是f(4)＝ eq \f(－4＋1,4＋2)＝－ eq \f(1,2)，所以该函数在区间[1，4]上的最大值为0，最小值为－ eq \f(1,2).21．解析：(1)如x＞0，则－x＜0，∵x≤0时，f(x)＝x2－2x.∴f(－x)＝x2＋2x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－2x，(x＞0).即f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0,－x2－2x，x>0)).(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)－f(x2)＝x eq \o\al(\s\up11(2),\s\do4(1)) －2x1－(x eq \o\al(\s\up11(2),\s\do4(2)) －2x2)＝x eq \o\al(\s\up11(2),\s\do4(1)) －x eq \o\al(\s\up11(2),\s\do4(2)) ＋2x2－2x1＝(x1－x2)(x1＋x2)－2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－2)，∵x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2－2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，即f(x)在(－∞，0]上的单调递减．(3)∵f(x)是R上的奇函数，且在(－∞，0]上的单调递减，∴f(x)在R上的单调递减，由f(ax－a)＋f(－x－2)＞0得f(ax－a)＞－f(－x－2)＝f(x＋2)，即ax－a＜x＋2，即x(a－1)＜a＋2，若a＜1，则a－1＜0，此时x＞ eq \f(a＋2,a－1)，若a＝1，则a－1＝0，此时不等式恒成立，解集为R，若a＞1，则a－1＞0，此时x＜ eq \f(a＋2,a－1)，综上所述，即a＜1时，不等式的解集为( eq \f(a＋2,a－1)，＋∞)，a＝1时，不等式的解集为R，a＞1时，不等式的解集为(－∞， eq \f(a＋2,a－1)).22．解析：(1)f(x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2－m＋ eq \f(m2,4)，则最大值－m＋ eq \f(m2,4)＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.(2)函数f(x)图象的对称轴是x＝ eq \f(m,2)，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足 eq \f(m,2)≤－1，解得m≤－2.(3)①当 eq \f(m,2)≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上递减，若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(f（2）＝3，,f（3）＝2，)))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4＋2m－m＝3，,－9＋3m－m＝2，)))，此时m无解．②当 eq \f(m,2)≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上递增，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(f（2）＝2，,f（3）＝3，)))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4＋2m－m＝2，,－9＋3m－m＝3，)))解得m＝6.③当2< eq \f(m,2)<3，即4