苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.1 直线的斜率与倾斜角精品课后测评

1.1直线的斜率与倾斜角 苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知直线，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法不正确的是(    )

A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为

3. 若直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知直线的一个方向向量为，倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，若，则，，的大小关系为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在下列四个命题中：

若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；

向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；

直线的一个方向向量为；

若存在不全为的实数，，使得，则，，共面．

其中正确命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 经过，两点的直线的倾斜角(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如果直线：与直线：平行，则等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知直线：，动直线：， 

则下列结论正确的是(    )

A. 存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直

10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是(    )

A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行

11. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列选项正确的是(    )

A. 过点且和直线垂直的直线方程是
B. 若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C. 若直线与平行，则与的距离为
D. 已知点，则点关于原点对称点的坐标为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知点，的坐标分别为，，直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围是          ．
14. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为          ．
15. 已知直线与平行，则实数          ．
16. 坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，求直线的斜率

已知实数，满足，且，求的最大值和最小值．

18. 已知，，．

若点满足，，求点的坐标

若点在轴上，且，求直线的倾斜角．

19. 已知点，，点在轴上，分别求满足下列条件的点的坐标．

是坐标原点．

是直角．

20. 已知直线经过点，，直线经过点，，如果，求的值．
21. 已知，，，四点，若顺次连接，，，四点，试判断图形的形状．
22. 已知坐标平面内三点，，．
    求直线，，的斜率和倾斜角；
    若为的边上一动点，求直线斜率的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线的位置关系，两直线的交点，属于中档题．
先求出恒过定点，结合与线段有交点，可以判断的斜率范围，进而可以求出范围．

【解答】

解：将直线的方程变形得，
由，得
直线恒过点，
，，

由图可知直线的斜率的取值范围是 或，
，
 或，即 或，又时，直线仍与线段相交， 的取值范围为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线斜率与倾斜角的关系，直线过定点问题，直线与直线的垂直关系，属于中档题．
将方程化为点斜式，即可判断；令，得出在轴上的截距，进而判断；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断．

【解答】

解： 可化为，则直线必过定点，故A正确；

令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；

可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；

设过点且垂直于直线的直线的斜率为，

因为直线的斜率为，所以，解得，

则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确．

故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
当时，直线的斜率不存在，倾斜角，当时，直线的斜率，结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线的斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．
 

【解答】

解：当时，直线的方程为：，
此时倾斜角，
当时，直线的方程为：，
直线的斜率，
直线的倾斜角，
综上所述：直线的倾斜角．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的倾斜角和斜率，涉及三角恒等变换，属于中档题．
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．

【解答】

解：直线的倾斜角为，，
，
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对数函数的性质和实数比较大小，属于基础题．
判断函数为增函数，，，的几何意义为曲线上各点与原点连线的斜率，结合图象即得答案．

【解答】

解：作出函数的大致图象，如图所示．

由图象，可知当时，曲线上各点与原点连线的斜率随的增大而减小．
因为，所以，
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查共面向量定理及应用，空间向量的数量积及夹角，直线的方向向量平面，属于中档题．
利用共面向量基本定理，空间向量的夹角，直线的方向向量，对每个小命题判断即可．

【解答】

解：若向量，所在的直线为异面直线，则向量，可以平行移动，可以共面，故错误；
向量，，若与的夹角为钝角，则且，
则，且，即且，故错误；
直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，故正确；
若存在不全为的实数，，使得 ，不妨设， ，由共面向量定理知，，一定共面，故正确．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．
求出直线的斜率，然后求解倾斜角．

【解答】

解：经过，两点的直线的斜率为：．
设直线的倾斜角为，则．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两条直线平行的条件，考查学生的计算能力，属于中档题．
对的取值分类讨论，当时，符合题意，当时，列出方程，求解即可推出结论．

【解答】

解：当时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．
当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由，解得．
当时，为，为，即两直线平行，故符合题意．

综上，或，

故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的一般式方程，两条直线的位置关系，属于中档题．
根据题意，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】

解：对于动直线：，
当时，斜率不存在，倾斜角为，故A正确；
由于方程组，可得，
当时，此方程有解；当时，，此时与重合，
可得对任意的，与都有交点，故B正确，C错误；
由于直线：的斜率为，
当时，直线的斜率不存在，与不垂直，
当时，动直线的斜率为，
故对任意的，与都不垂直，故D正确，
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率，两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，属于中档题．
由题意，可得直线的斜率与方程，再根据选项逐一判断即可．

【解答】

解：直线的一个方向向量为，
直线的斜率为，故倾斜角为，故A错误；
又过点，
故直线的方程为，
即，
令，解得，
故在轴上截距为，故B错误；
直线的斜率为，
，
与直线垂直，故C正确；
直线的斜率为，与直线的斜率相等，但纵截距不等，
与直线平行，故D正确．
故选CD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了求直线的斜率问题，以及数形结合思想的运用，属于中档题．
结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的取值范围，进而判断即可．

【解答】

解：如图所示：

当直线过点时，设直线的斜率为，则，
当直线过点时，设直线的斜率为，则，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线垂直的条件，直线的斜率与倾斜角，平行线间的距离及空间直角坐标系，属于中档题．
分别求出各选项的结果，再逐项判断即可．

【解答】

解：对于，设与直线垂直的直线方程为：，
把点代入，得：．
过点，且与直线垂直的直线方程是，故选项正确；
对于，因为，且
当时，；当时，，
所以直线倾斜角的取值范围是，故选项错误；
对于，若直线与平行，
则，解得：，
故与的距离是：，故选项正确；
对于，设，
点与关于原点对称，
原点是线段的中点，可得
，解得
所以点坐标为，故选项正确．
故选ACD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与直线之间的位置关系．其中涉及到分类讨论思想的应用，属于中档题．
先求出的斜率，再分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案．

【解答】

解：如下图所示，

由题知，
直线过点．
当时，直线化为，一定与线段相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置．
经过，即直线，则；
与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，
即，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了过两点斜率计算公式及其应用，以及推理能力与计算能力，属于中档题；
由题意可知，，写范围时要注意是否包含垂直的情况．

【解答】

解：，，
因为直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，
所以，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的一般式方程与直线的平行的判定，属中档题．
分类讨论，进行求解即可．

【解答】

解：当时，两直线显然不平行，
当时，由直线与直线平行，
，
解得：或，
经检验当时两直线重合，不符合题意，
，
故答案为．


 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．

先求出、两点连线所在直线斜率，由此能求出直线的倾斜角的取值范围．

【解答】

解：点和点是相异两点，，

又，

直线的斜率的取值范围为．

设直线的倾斜角为，则，

．

17.【答案】解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，

因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
所以直线的斜率为．

如图所示，由点满足关系式，且可知，
点在线段上移动，由已知可得，．

因为的几何意义是直线的斜率，且，，所以的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率及其关系、二倍角公式的应用以及斜率的应用．
设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，根据直线的方向向量为，
得到直线的斜率为，然后用二倍角公式求解．
根据斜率的几何意义，数形结合求解．
 

18.【答案】解：设，由已知得，又，
，即 ，

由已知得，又，
 ，即，

联立，解得，，
；

设
，
，又，，
，解得，，

又，轴，故直线的倾斜角为．

【解析】本题主要考查了直线的斜率以及与倾斜角的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键，属于中档题．
利用平行、垂直的关系求参数的关键是求出斜率，再利用平行、垂直判断斜率之间的关系，列方程求解，
设，根据得出，由得出，解方程组即可求出的坐标；

设，由得出，解方程求出的坐标，即可得出结果，

19.【答案】解：由题设点的坐标为，
因为，所以．

所以又，

，

所以，所以，即点的坐标为．

因为，所以，

根据题意知，的斜率均存在，

所以．

，，

所以，

解得或，即点的坐标为或．

【解析】本题考查了两条直线平行、垂直与斜率的关系，属中档题．
根据图像及斜率关系可得，故根据斜率的公式得到解出即可；
两条线段垂直，因为线段所在直线的斜率存在，故只要求斜率之积为，即，解出即可．
 

20.【答案】解：因为直线经过点，，所以的斜率存在，设为．
当时，则，即，则，，显然直线的斜率不存在，满足
当时，，即，显然的斜率存在，设为若要满足题意，则，
所以 ，解得．
综上可知，的值为或． 

【解析】本题考查过两点的斜率公式，以及两直线的垂直关系的判定与应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，，四点在平面直角坐标系中的位置如图：

由斜率公式可得，，，，

，由图可知与不重合，

．，与不平行又，．

故四边形为直角梯形．

【解析】本题主要考查对于直角坐标系的掌握，通过已知点求斜率，然后通过斜率的代数关系求得直线关系，要注意计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：由斜率公式得

，，，

倾斜角的取值范围是，

又，，，

直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．

如图，

为的边上一动点，
当斜率变化时，直线绕点旋转，
当直线由逆时针方向旋转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，
所以的取值范围为．

【解析】本题考查两点间的斜率公式和斜率与倾斜角的关系，属中档题．
由斜率公式求得各直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系求得各自的倾斜角；
画出图象，数形结合，根据斜率的变化得到的取值范围．