初中数学24.1.2 垂直于弦的直径课文配套ppt课件

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1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形；2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题；（重点）3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
24.1.2 垂直于弦的直径
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
(1) 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
(2) 你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.求证：AE=EB， （或 ）.
证明：连接OA，OB，OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合.因此 AE=EB， ， .
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件)
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为 AB，CD 都不是直径
可运用垂径定理的几种常见图形：
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
解析：连接 OA. ∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D，
设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x - 2)2，
如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧) 的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？ ①过圆心(是直径)； ②垂直于弦；③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法.已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为 E
如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.（1）CD⊥AB 吗？为什么？（2）
解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO.
又∵ AE = BE，
∴∠AEO =∠BEO = 90°.
∴△AOE≌△BOE(SSS).
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
圆的两条直径是互相平分的.
证明：作直径 MN⊥AB，如图.∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.则 = ， = （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.∴ － = － .∴ = .
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m，设⊙O 的半径为 R m.在 Rt△AOD 中，AO = R，OD = R - 7.23，AD = 18.5.由勾股定理，得
1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.
2. 已知⊙O 的直径 AB = 20 cm，∠BAC = 30°，则弦 AC = cm.
3.已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 .
14 cm 或 2 cm
4. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形．
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴ 四边形 ADOE 为矩形，
又∵ AC = AB，
∴ 四边形 ADOE 为正方形.
∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°.
5. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？
解：AC = BD. 理由如下： 过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E. 则 AE = BE，CE = DE. ∴ AE－CE = BE－DE， 即 AC = BD.
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法．