北师大版八年级上册1 探索勾股定理课时练习

这是一份北师大版八年级上册1 探索勾股定理课时练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题）
1. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点 E，F 是中线 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是
A. 6B. 12C. 24D. 30

2. 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 2 cm，另一条直角边长 6 cm，那么这个直角三角形的斜边长
A. 4 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm

3. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90∘．△PAB 中 AB 边上的高等于 AB 的长度，△QBC 中 BC 边上的高等于 BC 的长度．△HAC 中 AC 边上的高等于 AC 的长度，且 △PAB，△QBC 的面积分别是 10 和 8，则 △ACH 的面积是
A. 2B. 4C. 6D. 9

5. 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则 △ABC 中 BC 边上的高是
A. 1.6B. 1.4C. 1.5D. 2

6. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，则正方形 D 的面积为
A. 9B. 8C. 27D. 45

7. 在 Rt△ABC 中，已知其两直角边长 a=1，b=3，那么斜边 c 的长为
A. 2B. 4C. 22D. 10

8. 已知直角平面内点 P1,2，Q2,-3，那么线段 PQ 的长等于
A. 5B. 26C. 27D. 27

9. 有一个边长为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A. 2022B. 2021C. 2020D. 1

10. 在 △ABC 中，AB=AC=5，P 是 BC 上异于 B，C 的一点，则 AP2+BP⋅PC 的值是
A. 15B. 25C. 30D. 20

11. 图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 O 的直角三角形（如图 2 所示）演化而成的．如果图 2 中的 OA1=A1A2=A2A3=⋯A7A8=1，那么 OA8 的长为
A. 22B. 3C. 10D. 11

12. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90∘，AD=4，BC=3．分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 E，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为
A. 22B. 4C. 3D. 10

13. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是
A. B.
C. D.

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD 是 ∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是
A. 125B. 4C. 245D. 5

二、填空题（共7小题）
15. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 D 在边 BC 上，AD=BD，DE 平分 ∠ADB 交 AB 于点 E．若 AC=12，BC=16，则 AE 的长为 ．

16. 一直角三角形有两边长分别为 4 和 5，则第三边长为 ．

17. 直角坐标平面内的两点 P-2,4，Q-3,5 的距离为 ．

18. 如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ∠ABC=90∘，AC=50 cm，AB=30 cm，小明蒙上眼睛用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．

19. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 P 为 AC 边上的一点，延长 BP 至点 D，使得 AD=AP，当 AD⊥AB 时，过 D 作 DE⊥AC 于 E，AB-BC=4，AC=8，则 △ABP 面积为 ．

20. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

21. 如图，在 △ABC 中，已知 AB=2，AD⊥BC，垂足为 D，BD=2CD．若 E 是 AD 的中点，则 EC= ．

三、解答题（共6小题）
22. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90∘，AD=4，BC=3．分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，点 O 是 AC 的中点．
（1）求证：AF=BC；
（2）求 CD 的长．

23. 如图，以直角三角形的三边分别作正方形．证明：S1+S2=S3．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=17，AC=15，求 BC 的长及 △ABC 的面积．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，求 AB 的长．

26. 已知 Rt△ABC 的面积为 5，斜边长为 3，两直角边长分别为 a，b．求代数式 ab+ba 的值．

27. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的 4 倍的三角形叫常态三角形．例如：一个三角形的三边长分别是 5，6 和 8，因为 62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若 △ABC 的三边长分别是 2，5 和 4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若 Rt△ABC 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （从小到大排列）；
（3）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，CD=AD=DB，若 △BCD 是常态三角形，求 △ABC 的面积．
答案
1. A
【解析】∵AB=AC=5，BC=8，AD 是 △ABC 的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD=4，
∴AD=AB2-BD2=52-42=3，S△BEF=S△CEF，
∴S阴影=S△ABD=12BD⋅AD=12×4×3=6，
故选：A．
2. C
3. D
【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
4. A
【解析】过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，过点 Q 作 QE⊥BC 于点 E，过点 H 作 HF⊥AC 延长线于 F，
∵S△ABP=12AB⋅PD，
又 ∵PD=AB，
∴S△ABP=12AB⋅AB=12AB2，
∵S△QBC=12BC⋅QE，
又 ∵QE=BC，
∴S△QBC=12BC⋅BC=12BC2，
∵S△ACH=12AC⋅HF，
又 ∵HF=AC，
∴S△ACH=12AC⋅AC=12AC2，
∵△ABC 为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴S△ACH=12⋅AB2-BC2=12AB2-12BC2=S△ABP-S△BCQ=10-8=2.
5. B
【解析】∵BC=32+42=5，
∵S△ABC=4×4-12×1×1-12×3×4-12×3×4=72，
∴△ABC 中 BC 边上的高 =2×725=75．
6. A
【解析】设中间正方形为 M，
∵ 正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，
∴ 由勾股定理得 A，B 的面积和等于 M 的面积，M，C 的面积和等于 D 的面积，
故 D 的面积为 2+4+3=9．
7. D
8. B
9. A
10. B
【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于 D．
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90∘，
∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB⋅PC=AP2+BD+PDCD-PD=AP2+BD+PDBD-PD=AP2+BD2-PD2=AP2-PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.
故选：B．
11. A
【解析】因为 OA1=1，
所以由勾股定理可得 OA2=12+12=2，
OA3=22+12=3，
⋯，
所以 OAn=n，
所以 OA8=8=22．
12. A
【解析】如图，连接 FC，
则 AF=FC．
因为 AD∥BC，
所以 ∠FAO=∠BCO．
在 △FOA 与 △BOC 中，
∠FAO=∠BCO,OA=OC,∠AOF=∠COB,
所以 △FOA≌△BOCASA，
所以 AF=BC=3，
所以 FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．
在 △FDC 中，
因为 ∠D=90∘，
所以 CD2+DF2=FC2，
所以 CD2+12=32，
所以 CD=22．
13. B【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
14. C
【解析】如图，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即 PC+PQ 的最小值为 245．
15. 10
【解析】在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=12，BC=16，
由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=122+162=400，
∴ AB=20．
∵ AD=BD，DE 平分 ∠ADB 交 AB 于点 E．
∴ AE=BE=12AB=10．
16. 3 或 41
【解析】第三边可能是直角边或斜边，若是直角边，其长为 52-42=3；若是斜边，其长为 42+52=41．
17. 2
18. 125
【解析】∵∠ABC=90∘，AC=50 cm，AB=30 cm，
∴ 由勾股定理得 BC=40 cm，
∴S阴影=40-302=100cm2，
∴ 小明蒙上眼晴用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 1002500=125．
19. 15
【解析】∵∠C=90∘，
∴∠CBP+∠BPC=90∘，
∵DA⊥BA，
∴∠PBA+∠BDA=90∘，
∵AD=AP，
∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，
∠CBP=∠ABP，
设 AB=x，
∵AB-BC=4，
∴BC=x-4，
∵AC=8，
∴ 在 Rt△ABC 中，
x-42+64=x2，
解得：x=10，
即 AB=10，
∴BC=6，
过点 P 作 PF⊥BA 于点 F，如图，
在 △BCP 和 △BFP 中，
∠CBP=∠FBP,∠BCP=∠BFP,BP=BP,
∴△BCP≌△BFPAAS，
∴BF=BC=6，PF=PC，
∴AF=4，
设 PF=PC=y，
在 Rt△PAF 中，16+y2=8-y2，
解得：y=3，
即 PF=3，
∴S△ABP=12AB⋅PF=12×10×3=15．
20. 322+16
21. 1
【解析】设 AE=ED=x，CD=y，
∴BD=2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
在 Rt△ABD 中，AB2=4x2+4y2=4，
∴x2+y2=1，
在 Rt△CDE 中，EC2=x2+y2=1，
∴EC=1．
22. （1） ∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO，
∵∠AOF=∠COB，OA=OC，
∴△FOA≌△BOCASA，
∴AF=BC．
（2） 连接 FC，
易证 EB 垂直平分 AC，
∴AF=CF，
由（1）知 AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．
在 △FDC 中，
∵∠D=90∘，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+12=32，
∴CD=22．
23. 由题知 S1=a2，S2=b2，S3=c2，
又 ∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
24. BC=AB2-AC2=172-152=8，
S△ABC=12AC⋅BC=12×15×8=60．
25. AB=AC2+BC2=122+52=13．
26. ∵Rt△ABC 的面积为 5，
∴12ab=5，
解得 ab=25，
根据勾股定理得：a2+b2=32=9，
∴ab+ba=a2+b2ab=925=9510．
27. （1） 是
（2） 2:3:5
（3） 设 CD=xx>0，则 AB=2x，
若 △BCD 是常态三角形，则有以下两种可能．
①当 x2+x2=4BC2=4×62=144 时，x2=72，
所以 x=62，AB=122，
由勾股定理得 AC=AB2-BC2=288-36=67，
则 S△ABC=12AC⋅BC=12×67×6=187．
②当 x2+62=4x2 时，x2=12，
所以 x=23，AB=43，
由勾股定理得 AC=432-62=12=23，
则 S△ABC=12AC⋅BC=12×23×6=63．
所以 △ABC 的面积为 63 或 187．