第1章特殊的平行四边形 解答专项练习题 2022-2023学年北师大版九年级数学上册(word版含答案)

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．

2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．

3．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．



4．如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．


5．如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．



6．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，求∠BAF的度数．



7．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．


8．如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．


9．如图，在四边形ABCD中AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证：四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．



10．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．
（1）求证：DE＝EF；
（2）求∠DEF的度数．

11．如图，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，∠FBA＝∠DAB，∠BAC＝90°，D是BC的中点．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC和BC的长．

12．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．

13．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．


14．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．


15．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：∠DAE＝∠ADE；
（2）求证：△AEB≌△DEC；
（3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数．


16．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边CD于点F，若DF＝2，求BE的长．
下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程：
小明：从直线BD是正方形的对称轴角度看，连接EC，如图2，则EA＝EC，∠ECD＝∠EAD，又∠ADC＝∠AEF＝90°，……
小华：从EF⊥AE的角度看，可以过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，如图3，通过证明△AME≌△ENF，……
小东：从EF⊥AE的角度看，还可以过点E作BD的垂线，交DC的延长线于点P，如图4，……

请结合上面的思路，求BE的长．
17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．
（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．


18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

19．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE＝OF；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．

20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．

参考答案
1．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．
2．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）方法一：
∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，DE＝AE＝，
∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴AB＝BF＝．
方法二：
∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DA＝DF＝3，
又DF＝BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝．
3．证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴DF∥AC；
（2）证明：由（1）得：DF∥AC，
∴∠FDG＝∠ECG，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，
∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，
∵BE＝EF＝2，
∴BG＝BE+EG＝3，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∴∠CEO＝∠CFO
∴CE＝CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
6．解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∴∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠BCE＝22.5°，
∴∠FEC＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°．
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝22.5°，EA＝EC＝EF，∠BEA＝∠BEC＝112.5°，
∴∠AEF＝112.5°﹣22.5°＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴∠BAF＝45°﹣22.5°＝22.5°．

7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴DC﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝8．
8．（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN＝＝5，
∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．
9．（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）①证明：∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理得：
AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝ED，
∵BE＝EF，
∴DE＝EF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCF＝90°，
∴∠F+∠FGC＝90°，
∵△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BE＝EF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴∠CDE+∠DGE＝90°，
∴∠DEF＝90°．
11．（1）证明：∵∠FBA＝∠DAB，
∴BF∥AD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵S菱形ADBF＝40，
∴S△ABD＝S菱形ADBF＝20，
∵D是BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝40，
又∵∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB•AC，
∴×8×AC＝40，
∴AC＝10，
∴BC＝＝＝2，
即AC＝10，BC＝2．
12．证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，
同理可得：∠EGF＝90°，
∵EG平分∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，
即∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，
即∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形MNQP为平行四边形．
如图，延长EH交CD于点O，
∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，
∴∠FOE＝∠FEO，
∴EF＝FD，
∵FH⊥EO，
∴HE＝HO，
∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，
∴△EHP≌△OHQ（AAS），
∴HP＝HQ，
同理可得GM＝GN，
∵MN＝PQ，
∴MG＝HP，
∴四边形MGHP为平行四边形，
∴GH＝MP，
∵MN∥EF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN＝EF，
∵四边形EGFH是矩形，
∴GH＝EF，
∴MN＝MP，
∴平行四边形MNQP为菱形．

13．（1）证明：
∵四边形ABCD，AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS）；
（2）∵△EAB≌△GAD，
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，
∵AG＝3，
∴OG＝OA+AG＝6，
∴GD＝，
∴EB＝．
14．（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴DE＝2﹣2．
15．（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DE＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
16．解：如图过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠END＝∠EMB＝90°，
∴∠FEN+∠EFN＝90°，且∠FEN+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠EFN，
∵EN+EM＝AD＝AB＝AM+BM，
在△BME中，∠ABD＝45°，
∴BM＝EM，
∴AM＝EN，
又∵∠AEM＝∠EFN，∠AME＝∠ENF，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴EM＝FN＝BM，
∵BM＝CN，
∴BM+FN＝BM+CN＝CF＝BC﹣DF＝4﹣2＝2，
∴MB＝EM＝1，
∴BE＝．
17．解：（1）△GAB≌△FAD，理由：
过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠D．
在△GAB和△FAD中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）线段DF、BE、EF之间的数量关系为：DF+BE＝EF．理由：
由（1）知：△GAB≌△FAD，
∴BG＝DF，AG＝AF．
∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB+∠FAB＝90°，
∴∠GAF＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BG+BE，
∴DF+BE＝EF．
18．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∵AC⊥BD，AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，∠EAG+∠AEG＝90°，
∴∠AFO＝∠BEO，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE＝OF；
（2）OF＝OE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC＝120°
∴AC⊥BD，∠ABO＝60°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA＝90°．
∴∠AFO＝∠BEO，
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，
∴＝．
∴OF＝OE；
20．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．