数学第一章 全等三角形综合与测试同步练习题

这是一份数学第一章 全等三角形综合与测试同步练习题，共20页。试卷主要包含了下列说法等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（　　）

A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
2．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（　　）
A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′
B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′
C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′
D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′
3．如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　）

A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3
C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135°
4．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，S△AEF＝24，则CF的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．3
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
8．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
二．填空题（共10小题，满分40分）
9．如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝36°，则∠AOB＝　 　．

10．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件 　 　，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．

12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的度数是 　 　．

13．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为 　 　．

14．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝8，OB＝3，则OC的长为 　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，垂足分别为EF，则下列结论：
①BD＝CD；
②△BDE≌△CDF；
③DE＝PE；
④△BCP是等腰三角形．
其中正确的有 　 　．（填序号）

16．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是　 　．

17．如图，点D、M、N分别为△AEB与△AFC的边与边的交点，AE⊥BE，AF⊥CF，垂足分别为E、F，AE＝AF，BE＝CF，则下列各个结论中：①∠EAF＝90°；②CN＝BM；③AN＝BN；④△MCD≌△NBD．其中正确结论的序号为 　 　．

18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△DNE＝S△ADM.其中正确结论有 　 　．（填写序号即可）

三．解答题（共8小题，满分56分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

20．如图，AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF＝CE．判断AE和DF的关系，并说明理由．

21．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°．
（1）试说明：AC＝BD；
（2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数．

22．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来，并加以证明．

23．课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS：如果两个三角形的　 　及其中一个　 　对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC和△DEF，并写出了如下不完整的已知和求证．
（3）按小红的想法写出证明．
证明：

24．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．试说明：EB∥CF．

25．（10分）已知：如图．∠1＝∠2，CD＝DE，EF∥AB．请说明EF＝AC的理由．
理由：过点C作CG∥EF交AD的延长线于点G．
可得∠EFD＝　 　．（两直线平行，内错角相等）
∵DE＝DC．∠FDE＝∠GDC，
∴△EFD≌　 　（ 　 　）．
∴EF＝　 　（ 　 　）．
∵EF∥AB（已知），
∴∠EFD＝　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴　 　（ 　 　）．
∴AC＝CG（等角对等边）．
∵　 　（已证），
∴EF＝AC（等量代换）．

26．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．


参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：当BD＝CE时，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
故选：B．
2．解：A、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，
故A选项不符合题意；
B、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，
故B选项不符合题意；
C、满足SAS，能证明△ABC≌△A′B′C′，
故C选项符合题意；
D、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，
故D选项不符合题意，
故选：C．
3．解：如图，△ACT≌△ABE，△ACF≌△BAE，则∠4＝∠2，∠1＝∠5．

A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意．
B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意．
C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故不符合题意．
D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意．
故选：A．
4．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；
③两边分别相等的两个直角三角形不一定是全等的，错误；
④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；
故选：A．
5．解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
6．解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴S△AEF＝×AE×EF＝3AE＝24，
∴AE＝8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB，
∴△BEC≌△FEA（AAS），
∴AE＝CE＝8，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣6＝2，
故选：B．
7．解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
8．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．

二．填空题（共10小题，满分40分）
9．解：如图，∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝36°，
∴∠ACB＝∠DBC＝36°．
∴∠AOB＝∠ACB﹣∠DBC＝36°+36°＝72°．
故答案是：72°．

10．解：∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等，
∴x＝6，y＝5，
则x+y＝11．
故答案为：11．
11．解：添加的条件是AD＝CE，
理由是：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（ASA）．
故答案为：AD＝CE（答案不唯一）．
12．解：在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠BDE＝∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝65°，
故答案为：65°．
13．证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故答案为：2.5．
14．解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD＝3，
∵AD＝8，
∴OA＝AD﹣OD＝8﹣3＝5，
∴OC＝OA＝5．
故答案为：5．
15．解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，故①正确，
∴BP＝CP，
∴△BPC是等腰三角形，∠PBD＝∠PCD，故④正确，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），故②正确，
由题意无法证明DE＝PE，故③错误，
故答案为：①②④．
16．解：如图，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，
∵∠GOH＝∠EOF＝90°，
∴∠EOF﹣∠GOE＝∠GOH﹣∠GOE，即∠FOG＝∠EOH．
在△EOH和△FOG中，
，
∴△EOH≌△FOG（ASA），
∴S四边形GOHD＝S四边形OEDF＝1×1＝1，即两个正方形重叠部分的面积为1．
故答案是：1．

17．证明：∵AE⊥BE，AF⊥CF，AE＝AF，BE＝CF，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠BAE＝∠CAF，BE＝CF，∠B＝∠C，AC＝AB，
∴∠MAE＝∠NAF，
又∵AE⊥BE，AF⊥CF，AE＝AF，
∴△AME≌△ANF（ASA），
∴EM＝NF，AM＝AN，
又∵BE＝CF，
∴BM＝CN，②正确；
∵AC＝AB，AM＝AN，
∴CM＝BN，
又∵∠C＝∠B，∠CDM＝∠BDN，
∴△MCD≌△NBD（AAS），④正确；
由于条件不足，无法证明①∠EAF＝90°；③AN＝BN．
故答案为：②④．

18．解：∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠BDC＝∠BMC＝90°，
∴∠A+∠ABM＝90°＝∠A+∠ACD，
∴∠ABM＝∠ACD，故①正确；
∵DM⊥DN，
∴∠NDM＝90°＝∠BDC，
∴∠BDN＝∠CDM，
∵∠ABC＝45°，BD⊥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，故②正确；
∵∠MDN＝90°，DM＝DN，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝45°，故③正确；
∵∠ABM＝∠ACD，BD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴△BDE≌△CDA（ASA），
∴S△BDE＝S△ADC，
又∵△BDN≌△CDM，
∴S△BDN＝S△CDM，
∴S△DNE＝S△ADM，故④正确；
故答案为：①②③④．
三．解答题（共8小题，满分56分）
19．证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
20．解：AE＝DF且AE∥DF，理由如下：
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
∴BE＝CF，
∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE＝DF．
21．（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP，

∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP，
即∠MPB＝∠AOM＝50°，
∴∠APB＝50°．
22．解：作∠A的平分线AD交BC于D，过D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴CD＝AD，AC＝ADcos30°＝AD，
∴AC＝CD，且S△ACD＝×AC×CD；
∵∠DAE＝30°，且∠DEA＝90°
∴AD＝2DE，
∴DE＝CD，可证△ACD≌△AED，
同理△ACD≌△BED，
S△ADE＝×AE×DE＝S△BDE＝×BE×DE＝S△ACD，
如此就可以划分成大小、形状相同的3个土地．

23．解：（1）两个角；角的对边；
故答案为：两个角，角的对边；
（2）∠D；BC；
（3）在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E，∠A＝∠D，
∴∠B+∠A＝∠E+∠D，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠D+∠E+∠F＝180°，
∴∠C＝∠F，
在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
24．解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵∠3＝∠4，
∴∠CDF＝∠BAE，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴EB∥CF．
25．解：过点C作CG∥EF交AD的延长线于点G．
可得∠EFD＝∠G．（两直线平行，内错角相等）
∵DE＝DC．∠FDE＝∠GDC，
∴△EFD≌△CGD（AAS）．
∴EF＝CG（全等三角形对应边相等）．
∵EF∥AB（已知），
∴∠EFD＝∠1（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠G＝∠2（等量代换）．
∴AC＝CG（等角对等边）．
∵EF＝CG（已证），
∴EF＝AC（等量代换）．
故答案为：∠G；△CGD，AAS；CG，全等三角形对应边相等；∠1，两直线平行，同位角相等；∠G＝∠2，等量代换；EF＝CG．
26．解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．

（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，

∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，
∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中，
，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，
∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△DCF中，
，
∴△OCF≌△DCF（ASA），
∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，
∴BC＝BE+CD．