2021学年第十七章 勾股定理综合与测试课时训练

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专题03 二次根式及勾股定理中的数学思想方法讲义

典例解析
1.【勾股定理】
【方程思想】
【例1】（2021·辽宁沈阳市期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺．

A．26 B．24 C．13 D．12
【答案】D.
【解析】解：由题意可知：BC=×10=5（尺）
设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
由勾股定理得：52+x2=（x+1）2
解得：x=12，
∴这个水池的深度是12尺．
故答案为：D．
【例2】（2021·陕西宝鸡市期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）cm2．

A．12 B．10 C．6 D．15
【答案】C.
【解析】
解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，
3²+x²=(9-x)²，解得x=4，
即AE=4，此时S△ABE=AE·AB=6，
故答案为：C．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，点P为x轴上一点，且到A（0，2）和点B（5，5）的距离相等，则线段OP的长度为（　　）

A．3 B．4 C．4.6 D．2
【答案】C.
【解析】解：设点P（x，0），
根据题意得，x2+22=(5﹣x)2+52，
解得：x=4.6，
∴OP=4.6，
故答案为：C．
【变式】（2021·浙江）如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】C.
【解析】解：过点D作DM⊥BC，

设BD=x，由题意可得：AB=5，AD=DE=5-x
∵∠ABC=60°，DM⊥BC，
∴∠BDM=30°
∴BM=x，则ME=BE-BM=2-x，
∴BD2-BM2=DE2-ME2，
即x2-（x）2=（5-x）2-（2-x）2
解得：x=，即BD=米
故答案为：C．
【分类讨论思想】
【例1】（2021·北京延庆区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C.
【解析】解：当Q在CB延长线上时，

在Rt△ACQ中，CQ=，
∴BQ=CQ-BC=；
当Q在BC延长线上时，

在Rt△ACQ中，CQ=，
∴BQ=CQ+BC=；
∴BQ的长为或．
故答案为：C.
【变式1】（2020·山东青岛市期中）若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（ ）
A．5 B．5或 C．12 D．12或7+
【答案】D.
【解析】解：由题意知，m-3=0，n-4=0
∴m=3，n=4
当n为斜边时，第三边为，
当m、n为直角边时，第三边为5，
则△ABC的周长＝3+4+＝7+，或3+4+5=12，
故答案为：D．
【例2-1】（2020·浙江嘉兴市期末）在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_____________秒．

【答案】，10，16.
【解析】解：①当AD=DB时

∵BC=8，
∴CD=8-BD
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
62+（8-BD）2=BD2
解得：BD=
此时t=秒；
②当AB=DB时

由勾股定理得：DB=AB=10，
t=10秒；
③当AD=AB时

∵AC⊥BC
∴CD=BC=8
∴BD=16
t=16秒．
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、10秒或16秒．
故答案为：、10或16．
【例2-2】（2021·辽宁沈阳市期末）已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为____．
【答案】或.
【解析】解：由二次根式非负性可知：，
解得：，
①当a是腰时，三边分别为2、2、3，
设底边上的高为h，

则h==
∴此等腰三角形的面积为=；
②当b是腰时，三边分别为3、3、2，
设底边上的高为h，

则h==
∴此等腰三角形的面积为=；
故答案为：或．
【变式2-1】（2021·江苏南京期末）（基础模型）
（1）如图，在△ABC中，，垂足为，，垂足为E．求证：．

（模型拓展）
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线与都经过点，直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
①如图，点是线段的中点，求线段的长度；
②连接，如果是等腰三角形，直接写出点的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）①；②（0,5）、（0,6）、.
【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC
∴∠ADC=∠AEB=90°
∵∠A=∠A，AC=AB
∴△ACD≌△ABE
（2）

①连接OM、BC，
∵M为AB中点，∠AOB=90°，M（4,3）
∴OM=AM=BM=5，OB=6，AO=8
又AB⊥CM，AM=BM，
∴AC=BC，
设AC=BC=x，则OC=8-x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2，
解得：x=
②（i）当AD=BD时，DM⊥AB，
∴M是AB中点，
∵OB=6
∴B（0,6）

（ii）当AB=BD时，△BMD≌△BOA，BM=OB
设BN=x，则BM=OB=3+x，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OB=
即B（0，）

（iii）当AB=AD时，
由OA⊥BD知，O为BD中点，
∵DM⊥BA,
∴OM=OB=OD=5，
即B（0,5）

综上所述，B点坐标为（0,5）、（0,6）、．
【变式2-2】（2020·成都市期中）如图1，中，于点D，且，

（1）证明：是等腰三角形；
（2）已知平方厘米，如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若的一边与平行，求t的值；
②若点E是边的中点，当在点M运动的过程中，为等腰三角形时直接写出t的值.
【答案】（1）见解析；（2）①2.5或3．②4.5或5或．
【解析】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=·5x·4x=10cm2，
∴x=1cm，
则BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AB=AC=5cm．
由运动知，AM=5-t，AN=t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即5-t=t，
∴t=2.5；
当DN∥BC时，AD=AN，
∴t=3；
故若△DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3．
②存在，理由：
（i）当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
（ii）当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形
（iii）当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
∵点E是边AC的中点，
∴DE=AC=2.5
当DE=DM，则t-2=2.5，
∴t=4.5；
当ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=5；
当MD=ME=t-2，
如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵ED=EA，
∴DF=AF=AD=1.5，
在Rt△AEF中，EF=2；
∵BM=t，BF=BD+DF=2+1.5=3.5，
∴FM=t-3.5
在Rt△EFM中，（t-2）2-（t-3.5）2=22，
∴t=．
综上所述，符合要求的t值为4.5或5或．
【例3-1】（2021·陕西宝鸡市期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝ 90°， ∠ADC ＝ 90°，∠BCD＝ 60° ，BC ＝CD，P为四边形ABCD边上的任意一点，当AB＝4， ∠APB＝30°时，BP的长是__________．

【答案】8或或4.
【解析】解：（1）连接BD，

∵BD=CD，∠BCD=60°
∴△BCD是等边三角形
∴∠BDC=60°
∵∠BAD=∠ADC=90°
∴∠ADB=30°
当P与D重合时，∠APB=30°
在Rt△ABP中，AB=4，
∴BP=2AB=8
（2）在BC上取点P，连接AP，使∠BAP=30°，

∵AB∥CD，∠BCD=60°
∴∠ABC=120°
在△BAP中，∠BAP=30°
∴∠BAP=∠APB，
∴AB=BP=4
（3）过B作BP⊥CD于P，连接AP、BD，
∴PA=BD
由上知△BCD为等边三角形，AP=BD=BC
∴BP平分∠DBC，P为CD中点
∴BA∥PC，AB=PC=4
∴∠PAB=∠C=90°，∠APB=30°，
在Rt△BPC中, BC=2CP=8，BP=，

故答案为：8或或4．
【例3-2】（2020·吉林长春市期末）如图，在中，AB=AC=5cm，BC=8cm，AD⊥BC于D．点在边上从点出发，以0.25cm/s的速度向终点C运动，设点的运动时间为．

（1）求线段的长．
（2）求线段的长．（用含的代数式表示）
（3）求为何值时，点与顶点的连线与的腰垂直．
【答案】（1）3cm；（2）见解析；（3）7或25．
【解析】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD=4 cm
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=3 cm
（2）当点P在BD上时，PD=BD-BP=4-0.25t.
当点P在CD上时，PD=BP-BD=0.25t-4.
（3）①当PA⊥AC时，

由勾股定理得：AP2=DP2+AD2=PC2-AC2，
即DP2+32=(DP+4)2-52，
解得：DP=2.25
此时t=7 s
②当PA⊥AB时，

同理，DP=2.25，
即0.25t-4=2.25
此时，t=25
综上所述：当t=7或t=25秒，PA与△ABC的腰垂直.
【变式3-1】（2019·渠县月考）如图，在中，，，动点从点C出发，按的路径运动，且速度为，设运动时间为．
（1）求的面积；
（2）求边上的高的长；
（3）当为何值时，的面积为；
（4）当点P在边上运动时，若是等腰三角形，请求出满足条件的的值．

【答案】（1）12；（2）；（3）4.5s或5.6s；（4）6.2或6.5或．
【解析】（1）解：过A作AH⊥BC于H．

∵AB=AC，
∴BH=CH=3cm，
由勾股定理得：AH==4cm，
∴S△ABC==12 cm2；
（2）由，
得：BD=cm；
（3）∵△APC的面积为9.6，△ABC的面积为12，
∴，
当P在AC上时，A、P、C不构成三角形；
当P在AB上时，AP=AB=4 cm，此时t==4.5s；
当P在BC上时，PC=BC=，此时t==5.6s，
故当t为4.5s或5.6s时，△APC的面积为9.6；
（4）当点P在BC上时，PC=16-2t，
由勾股定理得：AD==1.4 cm，
①当CD=CP时，

∵CD=5-1.4=3.6cm，
∴16-2t=3.6，
∴t=6.2s；
②当PD=PC时，

∵PD=PC，
∴∠C=∠PDC，
∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°，
∴∠PBD=∠PDB，
∴PB=PD，
∴PC=PB=3，
∴16-2t=3，
∴t=6.5 s；
③当DP=DC时，过点D作DH⊥BC于H．

∵DP=DC，DH⊥PC，
∴PH=CH=8-t，
由面积法得：DH=2.88 cm
∴CH=cm，
∴，解得：t=s
综上所述，满足条件的t的值为6.2或6.5或．
【变式3-2】（2020·河南濮阳市期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为（）秒．

（1）AC=______cm；
（2）当点在边上且恰好又在的角平分线上时，求此时的值；
（3）在运动过程中，当为多少秒时，为等腰三角形（直接写出结果）．
【答案】（1）3；（2）s；（3）s或s或3s或s．
【解析】解：（2）过点P作PD⊥AB于点D

∵ BP平分∠ABC，
∴PD=PC，
由S△ABC=S△ABP+S△BCP得：
×4×3=×5×PC+×4×PC
∴PC=
此时t=（AB+BC+PC）÷2=s
（3）①当AP=AC=3时，满足题意；
此时，t=；

②当PC=AC=3时，
（i）点P在AB上，过点C作CE⊥AB于点E，

∴CE=cm
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=cm，
此时t=2AE÷2= s.
（ii）若点P在BC上，则BP=BC-PC=1 cm，
此时t=（AB+BP）÷2=3 s；

③当PA＝PC时，
∵ PA＝PC，
∴∠A=∠ACP，
∵∠ACB=90°
∴∠B=∠BCP
∴ PB＝PC，
∴PA=PB=2.5 cm，
∴t=2.5÷2=s

综上所述，当t的值为或或3或秒时，△ACP为等腰三角形．
【数形结合思想】
【例1】（2020·成都期中）
平面直角坐标系中两点间距离公式：A（x1，y1）、B（x2，y2），AB=
如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：
①线段AB的长为；
②在，若，则的面积是5；
③当时，点P的坐标为；
④设点P的坐标为，则的最小值为．
其中正确的结论有______．

【答案】①②④.
【解析】解：①根据两点间距离的坐标公式可知，AB=，故①正确；
②在Rt△AOP中，AP=，OA=3，OP=1
∴P（1,0）
∴BP=
在△ABP中，AP2+BP2=AB2，故△ABP为直角三角形，
△ABP的面积为：5，故②正确.
∵S△ABO=6，
∴S△ABP=3
过点B作BD⊥x轴于D，则BD=1，OD=4，

设P（m，0），则×（3+1）×4=×3m+×1（4-m）+3，
解得：m=3，即点P的坐标为(3，0)，故③错误.
作A点关于x轴的对称点M，连接BM交x轴于点P，

此时PA=PM，
∵P点坐标为(x，0)，
∴AP=PM=，BP=
∴+=AP+BP=PM+BP≥BM
当且仅当B、P、M三点共线时，代数式取最小值，最小值即为线段BM的长度，
∵M(0，-3)，B(4，1)
∴BM=，故④正确.
故答案为：①②④.
【例2】（2021·沙坪坝区期末）已知，则的最小值=_______．
【答案】.
【解析】解：如图，AB=5，DE=7，BD=10，∠B=∠D=90°
设BC=m，CD=n，m+n=10，
由勾股定理，得：AC=，CE=
∴所求代数式为AC+EC的长，
当点A、C、E共线时取最小值，最小值为线段AE的长度
AE=
故答案是：．

【变式】（2019·渠县月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并直接写出代数式的最小值．

【答案】（1）；（2）10；（3）13．
【解析】解：（1）∵AC=，，
∴；
（2）连接AE，
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即AC+CE的最小值为AE的长，即C为AE与BD的交点，
作EF⊥AB于F，则BF=DE=1，EF=BD=8，AF=5+1=6，
在Rt△AEF中，AE==10
即AC+CE最小值为10；

（3）如图，AB=3，DE=2，BD=12，

设CD=x，
代数式的最小值为AE的长，
∴AE==13，
即代数式最小值为13．
【转化思想】
【例1】在一个长为13米，宽为8米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是________米．

【答案】17.
【解析】解：由题意可知，将木块展开，

∴AB=13+1×2=15米，AD=8米
最短路径=17 (米)．
故答案为：17．
【例2】（2020·福建福州月考）已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是_________．

【答案】.
【解析】解：如图，

过P作PE⊥AC于点E，连接BP，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴PE=AP，
当B、P、E三点共线时，AP+BP取最小值，最小值为△ABC边上的高，
即6，
故答案为：6．
【例3】（2020·泾阳月考）有一圆柱高为12cm ，底面半径为cm ，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）

A．12cm B．13cm C．10cm D．16cm
【答案】B.
【解析】解：展开圆柱的半个侧面是长方形，
长方形的长是圆柱的底面周长的一半，即5cm，宽是圆柱的高12cm．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是长方形对角线AB的长，即AB=13cm
故答案为：B．
【变式1】（2021·河南周口期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B.
【解析】解：把圆柱沿着点A所在高展开，如图所示，

作点A关于上表面的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故答案为: B.
【变式2】（2021·四川资阳期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）

A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm
【答案】C.
【解析】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，

∵AB=5cm，BC=×10=5cm，
∴装饰带的长度=2AC=cm，
故答案为：C．
【变式3】（2020·镇江市月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点，其两点间的距离，
（1）已知，试求，两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形为形状吗？说明理由；
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度
【答案】（1）13；（2）△DEF为等腰三角形；（3）．
【解析】解：（1）由两点间的距离；
（2），，
，
∴DE=FD ∴△DEF为等腰三角形；
（3）过点F作x轴的对称点F′，连结DF′交x轴与点P，则点P为所求，F（4，2），则F′（4，-2），
过D作y轴的平行线与过F′作x轴的平行线交于G，
则G点坐标为（1，-2），
DG=6-(-2)=8，GF′=4-1=3，
在Rt△DGF′中，由勾股定理，DF′=，
∴PD+PF的最短长度．

2.【二次根式】
【降次方法】：找到二次与一次关系，代换求解
【例】（2021·湖南怀化市期末）先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如：当时，求的值．
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由，可得，即，．
原式．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）2−；（2）.
【解析】解：（1）∵，
∴x＋1＝，
∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2，
∴x2＋2x＝1，
∴原式＝2x（x2＋2x）−3x＋1
＝2x−3x＋1
＝−x＋1
＝−（−1）＋1
＝2−；
（2）∵，
∴x−2＝，
∴（x−2）2＝3，
即x2−4x＋4＝3，
∴x2−4x＝−1，x2＝4x−1，
∴原式＝
＝（16x2−8x＋1−4x2＋x−36x＋9−5x＋5）
＝（48x−12−48x＋15）
＝×3
＝．
【练】当时，多项式的值为( )
A．1 B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：∵x=，
∴（2x-1）2=1994，即4x2=1993+4x，
4x3－1997x－1994=x·4x2－1997x－1994
=x（4x+1993）－1997x－1994
=4x2+1993x－1997x－1994
=4x+1993+1993x－1997x－1994
=-1
故原式=-1.
【换元法】
【例】（2021·福建泉州市期末）已知a﹣1＝20202+20212，则＝ ．
【答案】4041.
【解析】解：∵a﹣1＝20202+20212，设x=2020
则a=x2+（x+1）2，
∴2a-3=2[x2+（x+1）2]-3
=(2x+1)2,
∴=2x+1=2×2020+1=4041.
故答案为：4041．

【练】（2020·宁波市期末）化简_______．
【答案】.
【解析】解：设=x，=y，
则x+y=8，xy=6－=（-1）2，
∴=x+y+=8+2（-1）=6+2
∴=+1
故答案为：+1．
【数形结合】
【例】（2019·河南平顶山月考）问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长度分别为，求这个三角形的面积.
小辉同学在解得这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）请你直接写出△ABC的面积为：______；
思维拓展
（2）若△DEF三边的长分别为a，2a，a(a＞0)，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC．并利用构图法求出它的面积；
探索创新：
（3）若在△ABC三边的长分别为，， (m＞0,n＞0,且m≠n)，试运用构图法求出三角形的面积.
【答案】（1）3.5；（2）3a；（3）5mn.
【解析】解：（1）如图，
S△ABC =S正方形DECF -S△ADB-S△BEC-S△AFC=3.5

(2)如图，

S△ABC =S正方形DBEF -S△ADB-S△BEC-S△AFC=3a
(3)如图，每一个网格的长为n，宽为m， AC=,
AB=,BC=
S△ABC =S长方形DBEF -S△ADB-S△BEC-S△AFC=5mn

【练】（2020·宁波市期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
【答案】52．
【解析】解：∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，，
数轴上点a到2与到6的距离之和等于4，数轴上点b到2与到-4的距离之和等于6，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴的最大值为，
故答案为：52．
【练】若，则______.
【答案】1．
【解析】解：法一：平面直角坐标系中点P（x，y）到点（-3,0）和（3,0）的距离之和为10，
设这两个距离相等，分别为5，由勾股定理得点P坐标为（0,4）、（0，-4），即x=0，y=4或y=-4，代入得：原式=1
法二：
两边平方，
整理：
两边再平方得，
∴，
故1.
故答案为：1.
【练】（2020·安岳县期中）（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： ________；

（运用）：（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．


①当n=4，m=2时，如图，y=　 　；当n=5，m=　 　时，y=9；


②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=　 　（用含m、n的代数式表示）．
【答案】（1）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）1+3+5+…+2n-1；（3）①6，3；②n+2(m-1)．
【解析】（1）∵，
又∵，
∴=，
∴=，
结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）∵棋子的个数=n×n=n2，
又∵棋子的个数=1+3+5+…+2n-1，
∴n2=1+3+5+…+2n-1，
故答案是：1+3+5+…+2n-1；
（3）①如图所示，当n=4，m=2时，y=6；当n=5，m=3时，y=9，
故答案是：6，3；

②对于一般情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，三角形增加2个，故y=n+2(m-1)，
故答案是：n+2(m-1)．
【配方法】
【例】阅读理解：
，
反之：，
∴，∴＝＝－1
（1）仿上例，化简：；
（2）求－＋的值，并写出它的小数部分．
【答案】（1）；（2），.
【解析】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
，
，
∴
，
∴－＋的值为；小数部分为．
【练1】（2020·山东省枣庄市月考）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②.
【解析】解：（1）第④步出现了错误；

=
=．
（2）①
=
=
=．
②
=
=
．
【练2】（2020·安徽芜湖市期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【解析】解：（1）∵，
∴a＝2，b＝1；
（2）∵x是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
，
，
，
=2．
【练3】（2020·吉林长春市期末）仔细阅读下面例题，解答问题．
（例题）已知：，求m、n的值．
解：∵，∴，
∴，∴，，∴，．
∴m的值为4，n的值为4．
（问题）仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，，三边长a、b、c都是正整数，且满足，求斜边长c的值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：c=10．