初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试课时练习

第04课  二次根式全章复习与巩固

知识点01  二次根式的相关概念和性质

1. 二次根式

形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

注意：

二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）  ；
（2） ；
（3）.

注意：

（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3. 最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

注意：

最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

注意：

判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

知识点02二次根式的运算

1. 乘除法

（1）乘除法法则：

注意：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

注意：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

考法01   二次根式的定义

【典例1】在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有_____________个．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.

依次分析即可.

【详解】

根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.

①是二次根式；

②是二次根式；

③不是二次根式；

④，二次根式无意义，故④不是二次根式；

⑤，因为，所以1-x0，故⑤是二次根式.

二次根式有①②⑤三个.

故答案为3.

【点睛】

本题考查二次根式的定义.

【典例2】当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________．

【答案】          0

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质可知最小值为0，进而求得的值．

【详解】

，

当-1时，二次根式取最小值，其最小值为0．

故答案为：-1,0

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键．

【典例3】如果分式有意义，那么x的取值范围是_______．

【答案】 且x≠4

【解析】

【分析】

根据分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数进行解答．

【详解】

∵二次根式的被开方数是非负数，

∴2x+3≥0，

解得x≥-，

又分母不等于零，

∴x≠4，

∴x≥-且x≠4．

故答案为x≥-且x≠4．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，该题属于易错题，同学们往往忽略了分母不等于零这一条件，错解为x≥-．

【即学即练】二次根式有意义的条件是_______．

【答案】x≥0且x≠9

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于等于0，以及分式有意义的条件：分母不为0，计算求解即可.

【详解】

解：∵二次根式有意义

∴且

∴且

故答案为：且.

【点睛】

本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.

【即学即练】当_____时，式子有意义．

【答案】3≤x＜5．

【解析】

【分析】

根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．

【详解】

根据题意，得：，解得：3≤x＜5．

【点睛】

本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．

【即学即练】当x＝______时，二次根式取最小值.

【答案】－1

【解析】

【分析】

根据被开方数是非负数，可得答案．

【详解】

由二次根式取最小值，得x+1=0，

解得x=-11，

当x=-1时，二次根式取最小值，最小值为0，

故答案为-1．

【点睛】

本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数得出方程是解题关键．

【即学即练】函数的自变量x的取值范围是__________．

【答案】x≥2且x≠3

【解析】

【分析】

根据分式分母不为0、二次根式的被开方数是非负数列式计算即可．

【详解】

解：由题意得，x−2>0，3-x≠0,

解得，x≥2且x≠3．

故答案为：x≥2且x≠3．

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．

【即学即练】若，则的值是_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据被开方数大于等于0列式求x，再求出y，然后相加计算即可得解．

【详解】

解：由题意得，﹣2﹣x≥0且3x+6≥0，

解得x≤﹣2且x≥﹣2，

∴x＝﹣2，

∴y＝6，

∴x+y＝﹣2+6＝4．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．

考法02   二次根式的性质

【典例4】若a＜1，化简＝___．

【答案】﹣a

【解析】

【分析】

根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可．

【详解】

解：∵a＜1，

∴a﹣1＜0，

＝|a﹣1|﹣1

＝﹣（a﹣1）﹣1

＝﹣a＋1﹣1

＝﹣a．

故答案为：﹣a．

【点评】

本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即．

【即学即练】若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据三角形三边的关系判断2-m和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

解：∵3，m，5为三角形的三边长，

∴5-3<m<5+3，

∴2<m<8，

∴2-m<0，m-8<0，

∴

=-(2-m)+(m-8)

=-2+m+m-8

=2m-10．

故答案为：2m-10．

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．

【即学即练】已知，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质可得，求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．

【即学即练】已知a，b，c为三角形三边，则=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．

【详解】

由三角形的三边关系定理得：

则

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．

【即学即练】已知，化简得____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可求得答案.

【详解】

∵0<a<1，

∴>1，

∴

=

=

=，

故答案为.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.

【即学即练】若为△ABC的三边，化简=_______．

【答案】2c

【解析】

【分析】

根据三角形两边之和大于第三边，可得a、b、c的关系，根据二次根式的性质，可得答案．

【详解】

∵a，b，c是三角形的三边, 两边之和大于第三边 

∴b+ca，a-（b+c）0，即a-b-c0

同理a-b+c0

∴=b+c-a+a+c-b=2c.

故答案为2c.

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练的掌握二次根式的性质与化简.

【即学即练】已知：a＜0，化简=_____．

【答案】-2

【解析】

【详解】

分析：首先将二次根式进行化简，然后根据二次根式的性质得出，从而求出a=－1，然后将其代入得出代数式的值．

详解：原式=，∵，∴，

解得：a=±1， ∵a＜0， ∴a=－1，   ∴原式=0－2=－2．

点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据二次根式的性质求出a的值．

【典例5】在实数范围内分解因式：x3－6x＝___．

【答案】x(x-)(x+)

【解析】

【分析】

先根据提公因式法进行因式分解,再根据平方差公式进行因式分解即可求解.

【详解】

x3－6x,

=x(x2-6),

= x(x-)(x+),

故答案为: x(x-)(x+).

【点睛】

本题主要考查实数范围内进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.

【即学即练】在实数范围内分解因式： =_________

【答案】2（x+）（x-）．

【解析】

【分析】

先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．

【详解】

2x2-6=2（x2-3）=2（x+）（x-）．

故答案为2（x+）（x-）．

【点睛】

本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

考法03   二次根式的乘除法

【典例6】计算：=______；×÷=______.

【答案】          3

【解析】

【分析】

能化简的先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算.

【详解】

解：（1）==；

（2）×÷===3.

故答案为(1).        (2). 3

【点睛】

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

【即学即练】=________..

【答案】a

【解析】

【详解】

∵a>0,b>0,

∴=.

故答案是：a.

【即学即练】计算的结果是__．

【答案】3

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【详解】

解：

=

=3．

故答案为3．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．

【即学即练】化简：3··＝____________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用二次根式的乘除法则运算即可.

【详解】

3··=3·×=

【点睛】

本题考查了二次根式的乘法运算，相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．

【即学即练】计算的结果是______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【详解】

．

故答案为．

【点睛】

考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．

考法04   最简二次根式

【典例7】，，，四个二次根式中，是同类二次根式的是_____．

【答案】,

【解析】

【分析】

可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．

【详解】

＝，＝5，＝3，＝5，

∴，是同类二次根式．

故答案为，．

【点睛】

此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

【典例8】若最简二次根式和能合并,则a的值为___.

【答案】2

【解析】

【分析】

最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同.

【详解】

最简二次根式和能合并，可知被开方数相同

=

解得

故答案为2

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义.

【即学即练】若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

解：，

由最简二次根式与能合并成一项，得

a+1＝2．

解得a＝1．

故答案是：1．

【点睛】

本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

【即学即练】若是正整数，则正整数n的最小值是_____

【答案】3

【解析】

【分析】

根据是正整数，化简即可求出根式的值.

【详解】

解：,

若是正整数，即是正整数，

由根式的性质可知,当n=3时,,

∴正整数n的最小值是3.

【点睛】

本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.

【典例9】分母有理化：＝_____．

【答案】 + ．

【解析】

【分析】

一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．

【详解】

解:== + ．

故答案为 + ．

【点睛】

本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．

【即学即练】化为最简根式的结果_______．

【答案】

【解析】

【分析】

分子和分母都乘以，即可得出答案．

【详解】

==，

故答案为．

【点睛】

本题考查了分母有理化的应用，知道的有理化因式是解此题的关键．

【即学即练】化简_________________．

【答案】

【解析】

【分析】

将分子x-y化成，再约分即可.

【详解】

==.

故答案为.

【点睛】

本题考查的知识点是分式的化简，解题的关键是熟练的掌握分式的化简.

考法05   二次根式的加减法

【典例10】计算：_____________．

【答案】0

【解析】

【分析】

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．

【详解】

解：原式=3=0．

故答案为：0．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【即学即练】计算______．

【答案】

【解析】

【分析】

先进行二次根式的化简，然后合并．

【详解】

解：原式．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题的关键．

【即学即练】化简的结果是______________.

【答案】

【解析】

【详解】

分析：先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．

详解：原式=+3﹣+6

       =+3+．

点睛：本题主要考查二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．

考法06   二次根式的混合运算

【典例11】计算的结果为_______

【答案】5

【解析】

【分析】

把第一个括号内的二次根式化简，再把括号中的每一项分别与相除，然后把所得结果相加即可．

【详解】

原式=（）÷（）=﹣1+6=5．

故答案为5．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的顺序是解题的关键．

【即学即练】计算=__________．

【答案】

【解析】

【详解】

分析：先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．

详解：原式=  

       =

点睛：本题主要考查二次根式的加减，比较简单．

【即学即练】计算：（3+2）（3﹣2）=_____．

【答案】6

【解析】

【详解】

分析：根据平方差公式计算．

详解：原式=（3）2-（2）2

=18-12

=6．

故答案为6．

点睛：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

【即学即练】计算：=__________．

【答案】-2 -3

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法把（2+3）2020化为（2+3）2019×（2+3），再根据积的乘方可以计算出结果.

【详解】

（2-3）2019×（2+3）2020，

=（2-3）2019×（2+3）2019×（2+3），

=-（2+3），

=-2 -3.

故答案为-2 -3.

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，灵活运用积的乘方解决问题．

【即学即练】计算：（﹣2）2018（+2）2017＝___．

【答案】﹣2.

【解析】

【分析】

把（﹣2）2018（+2）2017改写为（﹣2）×（﹣2）2017（+2）2017，然后逆用积的乘方法则和平方差公式计算即可.

【详解】

﹣2）2018（+2）2017

＝（﹣2）×（﹣2）2017（+2）2017

＝（﹣2）×[（﹣2）（+2）]2017

＝（﹣2）×1

=﹣2.

故答案为﹣2.

【点睛】

本题考查了二次根式的乘法，逆用积的乘方法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.