第15课 变量与函数八年级数学下册同步精品讲义（人教版）
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第15课 变量与函数 课程标准1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 知识点01 变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称 的量为变量.数值 的量叫做常量.【注意】： 一般地，常量是 的量，变量是 的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是 ，时间和里程为 .【通俗解读】： 常量为数值（或已知数值的字母，如 ），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为 ，变量为 。知识点02 函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的 ，都有 与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.【注意】：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.【通俗解读】： （1）函数关系，实质是两个变量的 （即一个 方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有 组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的 ，那个我们即可得到 个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像；（2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到 个y值，那么y是x 的函数，如果解得 y值，那么y不是x的函数；例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数；知识点03 函数值是的函数，如果当＝时＝，那么 叫做当自变量为时的函数值.【注意】：对于每个确定的自变量值，函数值是 ，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.【通俗解读】： 函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值；例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得 ；知识点04 自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围）【注意】：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是 ； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是 ； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是 ； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的 ； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.知识点05 函数的几种表达方式变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的 叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.【注意】：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.【通俗解读】： （1）解析式法即为自变量与因变量的等式，即为二元一次方程；图像法即为解二元一次方程的无数组解，将每一组解的x和y作为点的横坐标与纵坐标，描点，即可得出函数图像；（2）求函数解析式，即求自变量x与因变量y的等式，即列出一个二元一次方程，因变量放在等式左侧（系数为1），其他项放在等式右侧；知识点06 函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.【注意】：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.考法01 变量与常量辨析【典例1】寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（ ）A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间【即学即练】下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量【即学即练】一个长方体的高为5，底面的宽为a，底面的长是宽的2倍，则这个长方体的体积V可以表示为，其中的自变量是（ ）A． B． C． D．【即学即练】一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）A．常量，常量 B．变量，变量C．常量，变量 D．变量，常量【即学即练】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器考法02 函数的判断【典例2】下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．【即学即练】下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）A．B．C． D．【典例3】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）A． B．C． D．【典例4】下列关系式中y不是x的函数是（ ）A． B．C． D．【典例5】下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间【即学即练】下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积D．圆的面积与圆的半径考法03 函数值【典例6】当时，函数的值是（ ）A． B． C．2 D．1【即学即练】根据流程图中的程序，当输入数值为-6时，输出数值为（ ）A．2 B．8 C．-8 D．-2【即学即练】某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（ ）A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元【即学即练】变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（ ）A．13 B．5 C．2 D．3【典例7】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．5【典例8】函数的图象过点（ ）．A． B． C． D．【即学即练】在平面直角坐标系xOy中, 下列函数的图像过点（-1，1）的是（ ）A． B． C． D．【典例9】已知函数，则当x＝2时，函数值y等于（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【典例10】若函数y=，则当函数值y=9时，自变量x的值是（ ）A． B．3 C．3或 D．3或考法04 自变量的取值范围【典例11】函数的自变量x的取值范围是（ ）A． B． C． D．【即学即练】已知函数，则自变量的取值范围是（ ）A． B．﹣1且 C． D．【即学即练】某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，考法05 求函数解析式【典例12】小明以的速度匀速前进，则他行走的路程与时间之间的函数关系式是（ ）A． B． C． D．【即学即练】从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是（ ）．A． B． C． D．【即学即练】把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ）A．y＝8x B．y＝8x＋24 C．y＝24－x D．y＝8x－24【即学即练】某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是每辆1元/次，电动车存车费是每辆2元/次，若自行车的存车量为辆次，存车的总收入为元，则与之间的关系式是（ ）A． B．C． D．【即学即练】某农场有耕地公顷，拖拉机需要小时耕完，则未耕地的面积（公顷）与拖拉机耕地的时间（小时）间的关系式是（ ）A． B． C． D．【即学即练】油箱装满30升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是（ ）A． B． C． D．【即学即练】已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10） 题组A 基础过关练1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）A．、、是变量，为常量 B．、是变量，为常量C．、是变量，、为常量 D．、是变量，为常量2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是( )A．时间 B．骆驼 C．沙漠 D．体温3．下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）A．B．C．D．4．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（ ）A． B． C． D．5．若有意义，则x的取值范围是 A．且 B． C． D．6．一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)7．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )A．y=-2x+24(0<x<12) B．y=-x+12(0<x<24)C．y=2x-24(0<x<12) D．y=x-12(0<x<24)8．变量x与y之间的关系是，当自变量时，因变量y的值是 A． B．3 C． D．159．已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为()A．5 B．6 C．7 D．810．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）A．± B．4 C．±或4 D．4或－题组B 能力提升练11．函数中自变量x的取值范围是______．12．函数y＝－x2＋4，当函数值为－4时，自变量x的取值为________，当函数值为4时，自变量x的取值为________．13．根据如图所示的计算程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为﹣，则输出的结果为_____14．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )15．地面温度为15 ºC，如果高度每升高1千米，气温下降6 ºC，则高度h(千米)与气温t(ºC)之间的关系式为___________16．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系可表示为___.17．用每片长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的函数关系式是___________________18．等腰三角形的周长为20cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，那么y与x之间的函数解析式是_______，其中自变量x的取值范围是_______．题组C 培优拔尖练19．已知函数y＝.求：(1)当x＝1和x＝－1时的函数值；(2)当x为何值时，函数y分别等于1，－1.20．我县出租车车费标准如下：2千米以内(含2千米)收费4元；超过2千米的部分每千米收费1.5元.（1）写出收费y（元）与出租车行驶路程x（km）(x＞2)之间的关系式；（2）小明乘出租车行驶6km，应付多少元?（3）小颖付车费16元，那么出租车行驶了多少千米?21．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y．（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？22．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂物体质量x/kg012345弹簧长度y/cm182022242628 ①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？②当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？③若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？23．如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．（1）当运动时间时，则三角形的面积为_____；（2）当运动时间时，则三角形的面积为_____；（3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积．
