高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程课时训练
展开1.2直线的方程 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，且，则的欧拉线的方程为( )
A. B. C. D.
- 若与有两个公共点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
- 数学家欧拉在年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
- 下列结论正确的是( )
A. 经过点的直线都可以用方程表示．
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．
D. 不经过原点的直线都可以用方程表示．
- 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的乘积是，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
- 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
- 设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
- 已知平面直角坐标系中的两点，，若点满足为坐标原点，其中，，且，则点的轨迹是( )
A. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 射线
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是( )
A. B.
C. D.
- 下列说法正确的是( )
A. 过点，两点的直线方程为
B. 点关于直线的对称点是
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
- 以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 直线：，：的距离为
- 已知点，到直线的距离相等，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知直线：与直线：平行，则经过点且与直线垂直的直线方程为 ．
- 已知点，，则线段的垂直平分线的一般式方程为 ．
- 过点且在两坐标轴上截距的和为的直线方程为 ．
- 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则直线的一般式方程为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
在平面直角坐标系中，已知顶点，．
若点坐标为，求边上的高所在的直线方程；
若点为边的中点，求边所在的直线方程． - 本小题分
已知直线，互相垂直，且相交于点．
若的斜率为，与轴的交点为，点在线段上运动，求的取值范围；
若，分别与轴相交于点，，求的最小值．
- 本小题分
已知直线．
如果直线的斜率为，求实数的值．
如果直线与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线的方程．
- 本小题分
已知的三个顶点为，，．
分别求边和所在直线的方程
分别求边上中线、高所在的直线、边的垂直平分线所在直线的方程； - 本小题分
直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．
当的面积取得最小值时，求此时直线的一般式方程
当在轴、轴上的截距之和取得最小值时，求此时直线的截距式方程．
- 本小题分
已知直线恒过定点．
Ⅰ若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
Ⅱ若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出的欧拉线就是线段的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段的中点，即可得解．
【解答】
解：因为，所以点在线段的中垂线上，
设该中垂线为直线，
取的中点，连接，则与直线的交点在直线上，该交点即为的重心，
过点作于，则与直线的交点在直线上，该交点即为的垂心，
因为外心到的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线上，
故的欧拉线就是直线，
由，，知的中点坐标为，直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，即．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了曲线的交点，考查数形结合的数学思想，解题的关键是正确画出函数的图象．
【解答】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线的斜率公式，直线方程的点斜式方程的应用，属于中档题．
根据题意可知的欧拉线方程即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线即可．
【解答】
解：因为，，
所以线段的中点，直线的斜率，
则线段的垂直平分线方程为，即，
因为，
所以外心，重心，垂心都在线段的垂直平分线上，
所以的欧拉线方程为．
故答案选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点式方程，属于中档题．
A、、选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，选项中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．
【解答】
解：选项中过的方程为直线的点斜式方程，当直线与轴平行即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与轴平行时即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；
选项中当直线与坐标轴平行时例如，与轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于中档题．
设出直线截距式方程，代入数据求解，最后转化为斜截式即可．
【解答】
解：设直线的方程，则
解得或
直线的方程为或，
即或．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式与一般式，属于中档题．
分两种情况直线过原点，不过原点，分别计算即可．
【解答】
解：当直线过原点时，由题意可得直线的斜率为，故直线的方程为
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，代入点得，解得，故直线方程为综上，所求直线的方程为或．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率，属中档题，
直线经过定点，根据直线与线段相交，求得、的斜率，可得，或，即可求得．
【解答】
解：直线，经过定点，它与线段有交点，
而的斜率为，的斜率为 ，
故直线的斜率 满足或，
解得或，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹问题，向量的坐标运算，属于基础题．
【解答】
解：设，则，，，因为，所以，又，所以代入得，故点的轨迹为一条直线故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查斜截式方程，考查确定直线位置关系的要素，属于中档题．
由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在轴上的截距的正负号，从而得出结论．
【解答】
解：由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，故A能成立．
由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，矛盾，故B不能成立．
由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，故C能成立．
由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，矛盾，故D不能成立．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线方程有关知识，属于中档题．
根据直线两点式直线方程判断；由对称性判断；求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积判断；求出经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程判断．
【解答】
解：对于，当时，无意义，故A错误；
对于，点与的中点坐标满足直线方程，并且两点连线的斜率为，点关于直线的对称点为，故B正确；
对于，直线在两坐标轴上的截距分别为：，，
与坐标轴围成的三角形的面积是：，故C正确；
对于，当直线过原点时，直线方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入，得，直线方程为，
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，故D错误．
故答案选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与直线的位置关系的应用，属于中档题．
根据直线与直线的相关知识对各选项逐个判断即可解出．
【解答】
解：对，，即，
直线恒过与的交点，解得，，恒过定点，A正确；
对于，直线过点，在，轴上截距相等，当截距不为时为，截距为时为，故B错误．
对于，由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，
C正确．
对于，直线：，：的距离为，故D正确．
故选 ．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线过定点问题，中点公式，两条直线平行等相关知识，属于中档题．
先判断直线所过定点，得出直线过的中点或与平行，然后分别求解即可．
【解答】
解：直线的方程可整理为，
由得
则直线过定点．
因为点与，不共线，
所以满足条件的直线过线段的中点或与直线平行．
当直线过线段的中点时，得
当直线与直线平行时，则，解得．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线：与直线：平行，可得斜率都存在，分别化为：，，，，解得再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】
解：直线：与直线：平行，
斜率都存在，分别化为：，，
，，
解得：．
直线：，
与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得：，解得．
可得直线方程为：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合中点公式，以及两直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查垂直平分线的求解，考查计算能力，属于基础题
【解答】
解：设为点，的中点，则，
点，，
，
线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线的方程为，即．
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，分类讨论是解决问题的关键，属于一般题．
直线过原点可得斜率，可得方程直线不过原点，可设截距式方程，代点可得值，进而可得方程
【解答】
解：当直线过原点时，可得斜率为，
故直线方程为；
当直线不过原点时，设方程为，
代入点可得，解得，
故方程为；
故所求直线方程为或．
故答案为：或
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程，属于中档题．
【解答】
解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，．
四边形为正方形，
，
，，
又，
，
点的坐标为，同理得到，
直线的方程为，化为一般式方程为．
17.【答案】解：，，
，
由垂直关系可得边上的高所在的直线的斜率为，
边上的高所在直线方程为，
化为一般式可得
为的中点，
，
，
所在直线方程为，
即．
【解析】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属中档题．
由斜率公式可得，由垂直关系可得边上的高所在的直线的斜率，可得方程；
由中点坐标公式可得坐标，进而可得，可得直线方程．
18.【答案】解：由于的斜率为，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
表示点与连线的斜率，由于，，
所以，的取值范围是．
由题可知，直线，的斜率均存在，且不为，
设的斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
则，
当且仅当时取“”．
故的最小值为．
【解析】本题考查直线垂直的充要条件，斜率的几何意义，直线的点斜式方程，利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用直线的位置关系及点斜式可得的方程为，然后利用的几何意义及斜率公式即得；
设的斜率为，由题可得直线方程，进而可得，然后利用基本不等式即得．
19.【答案】解：直线的方程可化为，
，解得．
直线与两坐标轴的交点为，
据题意，知，即，
直线与两坐标轴围成的三角形面积为
，
，
时，取到最大值，
故所求直线的方程为，即．
【解析】本题考查了直线的截距式方程，属于中档题．
将直线化成斜截式即可求解；
求出直线与两坐标轴的交点坐标即可求解．
20.【答案】解：边所在直线的方程为，
即
所在直线的方程，
即
线段的中点为， ，
所以边上的中线所在直线的方程为 ，
即
边上的高所在的直线的方程为 ，
即
边的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
【解析】本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
利用直线的两点式方程得出的直线方程，利用截距式得出所在的直线方程；
求出的中点，利用直线的两点式方程得出边上中线所在的直线方程，得出的斜率求出边高线的斜率，利用点斜式方程得出高所在的直线方程与垂直平分线所在的直线方程．
21.【答案】解：设．
，，，则，当且仅当时，等号成立，此时，，此时直线的一般式方程为．
由得，，当且仅当，即，时，等号成立，此时直线的截距式方程为．
【解析】本题考查基本不等式求最值、截距式方程和一般式方程，是中档题
22.【答案】解：直线可化为，
由可得
所以点的坐标为．
Ⅰ设直线的方程为，
将点代入方程可得，
所以直线的方程为，
Ⅱ当直线斜率不存在时，
因为直线过点，
所以直线方程为，
符合原点到直线的距离等于．
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
因为原点到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
【解析】本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．
Ⅰ求出定点的坐标，设要求直线的方程为，将点的坐标代入方程可求得的值，即可写出直线的方程
Ⅱ分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案．
高中数学1.2 直线的方程课后练习题： 这是一份高中数学1.2 直线的方程课后练习题，共3页。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.2 直线的方程课时作业： 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.2 直线的方程课时作业，共7页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 直线过定点， 设直线的方程为， 已知直线过点，则等内容，欢迎下载使用。
数学选择性必修第一册1.2 直线的方程达标测试： 这是一份数学选择性必修第一册1.2 直线的方程达标测试，共6页。试卷主要包含了 经过点,的直线在轴上的截距为， 已知两点，，则直线的方程为等内容，欢迎下载使用。
