高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.4 两条直线的交点课时训练

1.4两条直线的交点 苏教版（  2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：三角形的外心、重心、九点圆圆心和垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知直线是中的平分线所在的直线，若点、的坐标分别是，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(    )

A. 或 B.  C.  D.

7. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则直线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的是(    )

A. 直线的方程为
B. 过点且为边上的高的直线的方程为
C. 过点将是的面积平分的直线方程为
D. 的外心在直线上

10. 在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点下列说法正确的是(    )

A. 若直线的斜率为，则点
B. 若直线的斜率为，则线段的长度为
C. 当的中点为时，则点的坐标为
D. 当的中点为时，则直线的方程为

11. 已知直线：，：，，以下结论正确的是(    )

A. 无论为何值，与都互相垂直
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 无论为何值，与都关于直线对称
D. 若与交于点，则为原点的最大值是

12. 已知直线：，动直线：， 则下列结论正确的是(    )

A. 存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是          ．
14. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为__________．
15. 过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为________．
16. 若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围为________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

讨论直线，的位置关系，若相交，则求出交点的坐标．

18. 本小题分

已知直线的方程为，直线在轴上的截距为，且．

求直线与的交点坐标；

若直线经过与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程．

19. 本小题分
    已知两直线，当为何值时，直线与
    相交
    平行

重合．

20. 本小题分

若两条直线和的交点在第四象限，求的取值范围．

21. 本小题分

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，

求顶点的坐标；    
求的面积．

22. 本小题分
    如图，正的边长为，，，点，分别在边，上，，，，相交于．
     

求点的坐标

判断和是否垂直，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

归纳总结三角形的“四心”

外心：三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等

内心：角平分线的交点，到各边的距离相等

重心：中线的交点，重心将中线分成长度之比为的两条线段

垂心：高的交点．

【解答】

【解析】由题可得的重心为，直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，则边上的高所在直线的方程为，即直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，则边上的高所在直线的方程为，即．

联立解得则垂心的坐标为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即，

所以的欧拉线的方程为故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两条直线交点的位置问题，利用直线斜率求解，属于中档题．
求出直线与坐标轴的交点坐标，以及直线过定点，求出即可得出答案．

【解答】

解：直线与两坐标轴的交点为，
直线恒过定点，
，
要使两直线的交点位于第一象限，
直线与线段不含端点有公共点，
只需实数满足，
即，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线的交点坐标，两条直线平行的判定及应用，属于中档题题．
依题意，三条直线不能围成三角形有两种情况，或，三线共点时也不能围成三角形，分别求解即可．

【解答】

解：由题意，可知：直线与相交，
又三条直线不能围成三角形，则直线与或平行，或者三线共点，

若，则；若，则

三线共点时也不能围成三角形，直线与的交点是，
将代入，得．
可知：实数的取值集合为，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，属于中档题．
根据题意，联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．

【解答】

解：由题意可知，联立解得，， 
两直线的交点坐标为 
两直线的交点在第一象限， 
解得．
又直线的倾斜角为，则， ．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了角平分线的性质、直线方程，点关于直线的对称点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设关于直线的对称点为，且该点在上，联立和平分线即可得坐标．

【解答】

解：设关于直线的对称点为，
则，解得，即．
由对称性知在上
直线所在方程为：，
化为：．
由
解得，可得．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的的倾斜角和斜率，属一般题．
根据条件结合图形即可得出结果．

【解答】

解：点，，直线过且与线段相交，

则的斜率满足：或，
又，
所以或．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线方程的求法，属于中档题．
根据垂直关系求出的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标，根据题意求得点的坐标，再求出直线的方程；

【解答】

解：所在直线方程为，

设的方程为，且过，

代入解得，
即的方程为，

联立与的方程，

得，解得；

设，则，

即，

解得，则，
所以直线的方程为：，
即．

故选．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线的交点坐标、直线过定点问题、两点间距离公式等，属于中档题．
依题意，联立方程组解出交点，又过定点，到直线的距离最大值为，根据两点间距离公式求解即可．

【解答】

解：由得，即，
又，即过定点
到直线的距离最大值为，
故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
根据截距式方程判断，根据点斜式判断，根据中点坐标公式结合两点式判断，根据外心的定义求出外心坐标，代入即可判断．

【解答】

解：根据题意直线为：，整理为；A正确；
对于：直线斜率为：，则边上的高所在直线斜率为，
则直线方程为，整理为，故B正确；
对于：根据中点坐标公式可得中点坐标为，
则过点将三角形面积平分的中线方程为，
整理为，故C正确；
对于，外心为三角形三条边垂直平分线的交点，则线段的中垂线方程为：，
线段的中垂线方程为：
则外心坐标为解得
把外心代入直线，可得，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，两点间的距离公式及斜率公式，属于中档题．
先求出的方程，可得、的坐标，利用两点间的距离公式计算求得的长度；利用待定系数法，利用中点公式，求出、的坐标，从而求出直线的方程．
【解答】
解：若直线的斜率为，则，

由可得 ，所以，故A正确；

由可得，所以，

所以的长度为，故B错误；

因为分别是直线与射线，的交点，所以设，，

因为的中点为，所以，，解得： ，

所以，，

所以直线的斜率为，

可得直线的方程为： 即，故C，D正确．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与直线的位置关系的应用，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
利用两条直线垂直的充要条件即可判断选项A，求出两条直线恒过的定点坐标即可判断选项B，利用点关于直线的对称点即可判断选项C，先求出两条直线的交点的坐标，由两点间距离公式求解，再求解最值，即可判断选项D．
【解答】
解：对于，恒成立，与互相垂直恒成立，故A正确；

对于，直线：，当变化时，，恒成立，

所以恒过定点；

：，当变化时，，恒成立，

所以恒过定点，故B正确．

对于，在上任取点，

关于直线对称的点的坐标为，

代入：，则左边不等于，故C不正确；

对于，联立解得

即，

所以，

所以的最大值是，故D正确．

故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查直线的一般式方程，两条直线的位置关系，属于中档题．
根据直线的一般式方程，两条直线的位置关系逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：对于动直线：，当时，斜率不存在，倾斜角为，故A正确；
由于方程组，可得，
当时，此方程有解；
当时，，此时与重合，
可得对任意的，与都有交点，故B正确，C错误；
由于直线：的斜率为，当时，动直线的斜率为；当时，显然与不垂直，
故对任意的，与都不垂直，故D正确，
故选ABD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线的交点问题，借助图形，增强了直观性，容易找到简单正确的解题方法，体现了数形结合的数学思想．
利用直线过定点，结合图象，看斜率与已知直线斜率间的关系，注意斜率不存在情况的讨论，列出不等式解出的范围．

【解答】

解：直线：恒过点，

，，
当时，则或，

且，
又时，直线：与线段有交点，
所求的范围是．
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线的一般式方程与垂直关系，涉及直线的交点问题，属基础题．
由直线与直线互相垂直，可得关于的方程，解方程可得值，由垂足在上，可得关于的方程，解方程可得值，再由垂足在上可得，解方程可得值，代入要求的式子计算可得答案．
【解答】
解：因为直线与直线互相垂直，
所以，解得，
所以，
因为垂足在上，
所以，解得，
再由垂足在上可得，
解得，
所以，
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查的知识要点：直线的交点的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
首先求出直线间的交点坐标，进一步利用分类讨论思想求出直线的方程．
【解答】
解：根据题意得，解得，
故两直线交点的坐标为，
当斜率不存在时，显然直线满足条件．
当斜率存在时，设过该点的直线方程为，
化为一般式得，
因为直线与原点的最短距离为，
所以，解得，
所以所求直线的方程为．
故答案为或．  

16.【答案】 

【解析】解：由得
因为交点在第一象限，
所以
解得．
因为直线的倾斜角，
所以．
 

17.【答案】联立得

当，即时，方程组有无穷多解，与重合

当，即时，方程组无解，

当，即且时，

方程组只有一组解，为此时与相交．

综上，时，与重合时， 且时，与相交，交点的坐标为

【解析】本题考查两条直线位置关系，以及两条直线交点坐标的求法，属于基础题．
 

18.【答案】解：，．

直线的方程为，即联立

解得．直线与的交点坐标为．

当直线经过原点时，可得方程．

当直线不经过原点时，设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，

其方程为，把交点坐标代入可得，

解得可得方程．

综上可得直线的方程为或．

【解析】本题主要考查直线的交点以及直线的截距式方程的求解，属于中档题．
依题，，，从而求出直线的方程，再联立即可求解；
分类讨论，当直线经过原点时，当直线不经过原点时，分别求出此时的方程即可．
 

19.【答案】解：直线，直线， ，，，， ，．

若与相交，则 ，即，即，即 ，即，且故当，且时，直线与相交．

若，则有即即即 故当时，直线与平行．

若与重合，则有即 故当时，直线与重合．

【解析】本题主要考查两条直线位置关系的判定及两条直线平行的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：联立两直线的方程解得 
该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
 解得 即，
则的取值范围为 

【解析】本题考查两直线的交点，属于中档题．
求出交点坐标，由交点在第四象限列出不等式组，求解得的取值范围．
 

21.【答案】解：由顶点，和边上的高所在直线方程为，
得直线的方程为，即，，
中线所在直线方程为，
由解得，，
所以顶点；
设顶点，
因为的中点在中线上，
所以，
因为高所在直线方程为，
所以；，
由解得，，
所以顶点，
顶点到直线的距离为：，
线段，
所以的面积为． 

【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
根据垂直关系求出的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标；
求出点的坐标，顶点到直线的距离，线段的长，即可得出的面积．
 

22.【答案】解由题意知，，，，

由，

，

联立解得

垂直，
证明如下：，，
，．

【解析】本题考查两直线的交点与两条直线平垂直的判定，属于中档题．
由已知条件推导出点、的坐标，然后求得直线、的方程，然后求其交点坐标即可．
由两直线的斜率的乘积为得到和垂直．