数学第2章 圆与方程2.1 圆的方程课后复习题

2.1圆的方程  苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知过点有且仅有一条直线与圆相切，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 下列结论错误的个数为(    )

方程表示圆心为，半径为的一个圆；

方程表示圆心为，半径为的圆；

已知点、，则以为直径的圆的方程是；

方程表示圆的充要条件是，；

若点在圆外，则．

A.  B.  C.  D.

3. 点在圆的外部，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 已知圆：，圆：点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆：和两点，，若圆上总存在点，使得，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 以两圆及的公共弦为直径的圆的方程为 (    )

A.  B.
C.  D.

8. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的是(    )

A. 圆的圆心为，半径为
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 取圆上点，则的最大值为

10. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，圆，则  (    )

A. 若，则点在圆上
B. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若点在圆内部，则的取值范围为
D. 若，则圆与中与平行的中位线相切

11. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是(    )

A. 点在曲线内
B. 直线与曲线没有公共点
C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上
D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为

12. 已知实数满足方程，则下列说法错误的是(    )

A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若过点作圆的切线有两条，则实数的取值范围是          ．
14. 已知点和圆，若过点作圆的切线有两条，则实数的取值范围是          ．
15. 若圆的圆心在直线上，则的半径为___．
16. 过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知方程表示的图形是圆．

求的取值范围，并求其中面积最大的圆的方程；

若点恒在所给圆内，求的取值范围．

18. 本小题分

已知曲线，．

当取何值时，方程表示圆？

求证：不论为何值，曲线必过两定点．

当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．

19. 本小题分

求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程．

20. 本小题分

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．

求圆的圆心的坐标

求线段的中点的轨迹方程．

21. 本小题分

已知点和圆．

写出圆的标准方程，并指出圆心的坐标和半径；

设为上的点，求的取值范围．

22. 本小题分

已知圆的方程为．

求此圆的圆心与半径．

求证：无论为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属中档题．
由为圆的方程可得，又过点有且仅有一条直线与圆：相切，则点在圆上，联立即可得解．

【解答】

解：过点有且仅有一条直线与圆：相切，
则点在圆上，
则，解得或，
又为圆的方程，
则，解得 ，
即，
故选A

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系的判定、两条直线垂直与倾斜率的关系，属于中档题．
根据圆的确定条件和标准方程可得错误，根据圆的一般方程和点与圆的位置关系可得正确．

【解答】

解：方程只有才表示圆，其圆心是，半径为，
故错误．
方程，
只有才表示圆，
故错误．
设以为直径的圆上任意一点，当、时，直线、的斜率都存在，
由，可知，所以，
即，
当时，若点与点重合，则，此时点，
否则点在直线：上，又，，此时点，
同理当时，点的坐标为或，
由上可知：以为直径的圆的方程是，故正确．
由圆的一般方程表示圆的条件可知正确．
圆的圆心，
半径，点在圆外，等价于，
即，则，
整理得，故正确．
综上：正确．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆的一般方程、点和圆的位置关系，属于中档题．
根据满足圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不等式，综合可得实数的取值范围．
【解答】
解：圆，即，
，即．
点在圆的外部，
，即，解得，
综上可得，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系及圆的一般方程和标准方程，属于中档题．
由圆的方程，得的范围，然后求出圆，的圆心坐标和半径，再利用圆外切和内切求解即可．

【解答】

解：由圆得，解得，
圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以再圆外切或内切，
若两圆外切，则，
解得，符合，
若两圆内切，则，
解得，符合，
综合得实数等于或．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，故最大值是 ，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
【解答】
解：圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径是，
要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，
故最大值是，
关于轴的对称点，，
故的最大值为，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
先求出圆的圆心与半径，设出点坐标，然后根据已知条件得到，的范围即为的范围由圆上一点与圆外一点的距离的最值为，即可得到最后结果．
【解答】
解：圆：的圆心，半径，
设，
因为，
所以
，
所以的最大值即为的最大值，等于，
的最小值即为的最小值，等于，
则实数的取值范围是．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两个圆的位置关系，公共弦所在的直线方程，弦长的求法，考查计算能力．
求相交两圆的公共弦所在的直线方程，只要将两相交圆的方程相减即可，再求出公共弦长以及圆心坐标，进而求出圆的标准方程．

【解答】

解：联立
得公共弦方程，，
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，
所以圆心到公共弦的距离为：，
所以弦长为，
以公共弦为直径的圆的圆心一定在两圆圆心的连线上，
两圆心连线方程为，即，，
联立得所求圆的圆心坐标为，圆的半径为，
故此圆的标准方程为：．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆的方程，直线与圆相交弦长计算问题，属于中档题．
根据题意，得到最长弦为，可求得最短弦长，则四边形的面积，代入即可得答案．
【解答】
解：圆变形为，
所以圆心为，半径．
因为点，所以．
根据题意，知最长弦即圆的直径和最短弦垂直，
所以，．
所以四边形的面积
．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，两圆相交弦的有关问题，圆的最值问题，属于中档题．
圆的一般方程化为标准方程，判断；两相交圆的方程相减可求得公共弦的方程，判断；利用点到直线的距离公式可求弦长，判断；结合三角函数知识可判断．
【解答】
解：圆：即，
所以圆的圆心为，半径为，A正确；
圆和圆：的方程相减得，
故直线的方程为，B正确；
圆的圆心为，
圆心到直线的距离为，
所以线段的长为，C错误；
圆：，则，
设，，
则
，其中，
所以的最大值为，D正确．
故选ABD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的综合应用，属于一般题．
利用点与圆和直线与圆的位置关系逐个判断即可．

【解答】

解：对于，圆，令，恰符合，A正确；
对于，面积为，B错误
对于，当点在圆内部则有，，即，C正确
对于，若，则圆，中位线方程为：，
由点到直线的距离公式得到，直线恰与圆相切，D正确．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，考查与圆有关轨迹问题的求解，考查点到直线的距离，属于中档题．
直接法求得线段中点的轨迹为圆，再根据点与圆、直线与圆的位置关系判断各选项．
【解答】
解：设线段中点，则，，
故，即，表示以原点为圆心，为半径的圆，故C选项正确；
选项，点满足在曲线内，选项正确；
选项，直线，即，圆心到直线的距离，
故直线与圆无公共点，选项正确；
选项，圆心到直线的距离为，又，
所以有三个点到直线的距离为，选项错误；
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
根据题意，进行求解即可．
【解答】
解：实数，满足方程，即，
方程表示以为圆心，以为半径的圆；
令，则三条直线都与该圆有公共点，
所以，，
解得，，，
所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，
所以选项A正确，CD错误；
原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，项正确．
故选CD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点与圆的位置关系，利用圆的标准方程求圆心和半径，两点间的距离公式以及一元二次不等式的解法．
利用圆的标准方程求圆心和半径，由题意知点到圆心的距离大于圆的半径，从而得到关于的不等式，解之即可得出结果．

【解答】

解：圆的标准方程为，圆心为，半径的平方为，即，
因为过点作圆的切线有两条，
所以点在圆外，故点到圆心的距离大于圆的半径，
即，解得或，
故的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的切线问题和点与圆的位置关系，属于一般题．
由圆的方程得或，再利用在圆的外部得，从而求出的范围．

【解答】

解：根据题意，圆，
必有，
解可得 或，
过点作圆的切线有两条，则在圆的外部，
则有，即，
综合可得：的取值范围为．
故答案为 ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆的方程，属于基础题．
化圆方程为，求出，进而可求半径．
【解答】
解：由，得，
所以圆的圆心坐标为，
因为圆的圆心在直线上，
所以，解得，
设圆的半径为，
则，
解得或舍去，
所以的半径为．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查点与圆的位置关系，利用圆的标准方程求圆心和半径，两点间的距离公式以及一元二次不等式的解法．
由题意得点在圆外，把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用半径的平方大于，点到圆心的距离大于圆的半径，解不等式组求出取值范围．
【解答】
解：过点作圆：的切线有两条，点在圆外，
故点到圆心的距离大于圆的半径．
圆：即，
圆心为，半径的平方为  ，
   ，
解可得，
解可得  或．
所以的取值范围是，
故答案为．  

17.【答案】解：将已知方程化为：
，
，即，
解得，
所以的取值范围是．
，
当时，，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是．
圆心的坐标为，半径，
点恒在所给圆内，
，

，即，
所以的取值范围．

【解析】本题考查圆的方程，考查了点与圆的位置关系，注意圆的性质的合理运用，属于中档题．
已知方程可化为，由此能求出的取值范围，，由此能求出，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．
由点恒在所给圆内，得，由此可求解．
 

18.【答案】解：曲线，．
当时，方程化为，表示一条直线；

当时，方程化为，由，表示圆．

证明：方程变形为．

若对于取任何值，上式恒成立，

则有

解得，或

曲线过定点和．
即不论为何值，曲线必过两定点．

由可知当曲线表示圆时，圆：，圆心为，半径为，
由知圆过定点和，

在这些圆中，当以线段为直径时圆的面积最小，此时，圆的圆心在直线上，

，解得．
故圆面积最小时的值为．

【解析】本题考查了圆的标准方程，点与圆的位置关系及判定，直线和圆的方程的应用，属于中档题．

当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知方程表示圆．

方程变形为，则，可得曲线过定点和；

由得出圆，由知圆过定点和，当以线段为直径时圆的面积最小，圆的圆心在直线上，进而得出圆面积最小时的值．

19.【答案】解：解法一：联立得

解得或．

点和都在所求圆上，

所求圆的圆心在轴上．

又圆心在直线上，

所求圆的圆心为，半径，

所求圆的方程为．

解法二：设所求圆的方程为，整理得，圆心为．

圆心在直线上，

，解得，

所求圆的方程为．

【解析】本题考查了圆的方程求法，属于中档题．
解法一：联立两圆方程，求出交点坐标分别为点和，依据对称性可以判断所求圆的圆心在轴上，又圆心在直线上，可得圆心为，半径，即可求圆的方程；

解法二：可设所求圆的方程为，整理得圆心为，代入直线，解得，即可求圆的方程．

20.【答案】解：由得 ，所以圆的圆心的坐标为．

设，因为点为线段的中点，所以，所以，当时，可得，整理得，又当直线与轴重合时，点的坐标为，代入上式成立．

设直线的方程为，与联立，消去得，

令，得，

此时方程为，

解得或舍去，

因此，

所以线段的中点的轨迹方程为．

【解析】本题考查求圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，属于中档题．
通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论
设当直线的方程为，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论．
 

21.【答案】解：由，
得，
圆心的坐标为，半径；
，
，
即点在圆外，
，．
，
的取值范围是 

【解析】本题考查圆的一般方程化标准方程，考查点到圆上点的最值问题，是中档题．
利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；
由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求．
 

22.【答案】解

可化为，

所以圆心为，半径．

证明由可知，圆的半径为定值，

且圆心满足方程组

即．

所以无论为何实数，方程表示的是圆心在直线上，且半径都等于的圆．

【解析】略