高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.3 圆与圆的位置关系测试题

2.3圆与圆的位置关系 苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知点在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点是圆：上一个动点，且直线：与直线：相交于点，则的取值范围是．(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在点，满足为坐标原点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知圆与圆交于、两点，且平分圆的周长，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数且的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆：上有且只有一个点满足则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 要在一个矩形纸片上画出半径分别为和的两个外切圆，则该矩形面积的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知线段的端点在直线上，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点的横坐标的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 圆：和：，，分别是圆，上的点，是直线上的点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设圆，则下列说法正确的是(    )

A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆相离

10. 已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是(    )

A. 圆圆心坐标为
B. 两圆有两条公切线
C. 直线的方程为
D. 若点圆上，点在圆上，则

11. 已知圆和圆则(    )

A. 两圆相交 B. 公共弦长为 C. 两圆相离 D. 公切线长

12. 已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 集合，，若中有且仅有一个元素，则的值是          ．
14. 已知圆与圆相外切，，为正实数，则的最大值为          ．
15. 若圆与圆相切，则的值为          ．
16. 若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

 在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．

求线段的长；

记圆与轴正半轴交于点，点在圆上滑动，求面积最大时的直线的方程．

18. 本小题分
    已知圆：和：．
    求证：圆和圆相交；
    求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
19. 本小题分

已知两圆，．

取何值时，两圆外切

取何值时，两圆内切

20. 本小题分

已知圆，圆，求两圆的公切线方程．

21. 本小题分
    已知是圆：上一点，，，其中．
    若直线与圆相切，求直线的方程：
    若存在两个点使得，求实数的取值范围．
22. 本小题分

已知两圆和求：

取何值时两圆外切？

取何值时两圆内切？

时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，求两圆的公共弦方程，属于中档题．
两圆作差解得公共弦方程，将点，代入解得，再利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：根据题意将两圆方程作差得，
即为两圆的公共弦所在的直线方程，
又因为点在公共弦上，
所以，即，
所以
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系中的最值问题、直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、两点间的距离公式，属于中档题．
分别求出两点直线经过的定点坐标，判断出交点在以为圆心、为半径的圆上，利用两点间的距离公式求出圆心距，判断该圆与圆的位置关系，通过圆心距和两圆半径求出的取值范围．

【解答】

解：直线的方程为，即，
所以直线经过定点，
直线的方程为，即，
所以直线经过定点，
又两直线垂直，所以点在以为直径的圆上，
该圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆圆心距，所以两圆相离，
所以的最小值为，
最大值为．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了轨迹方程，圆与圆的位置关系，属于中档题．
设点，根据求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点列不等式组解出的取值范围．

【解答】

解：圆：，圆心，半径为，
设点，则，，
，，
整理得：，
则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又点在圆上，
圆与圆有公共点，
，
即，
解得．
故则实数的取值范围是．
故本题选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点间的距离公式，属于中档题．
由题意，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，从而根据，列式计算即可．

【解答】

解：由题意得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，
即为直角三角形，
由勾股定理得，
即，
整理后得．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
设出动点的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点的轨迹方程，又圆：上有且仅有一点满足，可得两圆相切，进而可求得的值．

【解答】

解：设，由，得，
整理得，
又圆：上有且仅有一点满足，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为，圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，得．
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题利用了相切两圆的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的性质求解，属于中档题．
圆与圆外切，并圆与矩形的两边相切，圆与矩形三边相切，则有四边形，是正方形，作，则四边形是矩形，根据矩形的性质和勾股定理，即可求得矩形纸片的长和宽，从而求得矩形纸片面积的最小值是．

【解答】

 如图，作，垂足为，则四边形是矩形，

两圆外切，，

，

，

矩形的长，宽，

矩形纸片面积的最小值

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两圆的关系以及曲线轨迹方程，属于中档题．
设，，得，，代入得到方程，可得轨迹方程，根据曲线与圆有两个公共点，则满足
，求解即可．

【解答】

解：设，，，
依题意：， ，
，，
，，
代入得的轨迹方程．
，
即，
可知的轨迹为以为圆心，为半径的圆．
曲线与圆有两个公共点，
则满足：，
解得：．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆有关的最值问题，圆与圆的位置关系，两点间的距离公式，考查转化思想与计算能力，属于中档题．
求出圆关于直线的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值．

【解答】

解：圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为，

由图象可知当，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即．
故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定，圆与圆的位置关系及判定和点到直线的距离，属于中档题．
利用圆的标准方程得圆的圆心，半径，对进行判断
令，由得，从而得圆截轴所得的弦长，对进行判断
利用点到直线的距离得圆心到直线的距离，再利用直线与圆的位置关系，对进行判断
利用圆的标准方程得圆的圆心，半径，再利用圆与圆的位置关系，对进行判断，从而得结论．

【解答】

解：对于、由得，
所以圆的圆心，半径，因此A正确；
对于、令，由得，
所以圆截轴所得的弦长为，因此B正确；
对于、因为圆心到直线的距离为，半径，
所以圆上的点到直线的最小距离为，因此C正确．
对于、由得，
所以圆的圆心，半径．
因为，
所以圆与圆相外切，因此不正确；
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了圆与圆的位置关系，两圆的公切线方程，圆的最值问题，属于中档题．
由圆的一般方程求得其圆心可判断；由两圆的位置关系可判断；将两圆的方程作差可判断；转化为圆心间的距离可判断．

【解答】

解：对于，由圆得圆心，故A不正确；

对于，由圆和圆相交于，两点，所以两圆有两条外公切线，故B正确；

对于，因为圆，圆，将两圆的方程作差得即，所以直线的方程为，故C正确；

对于，由圆得圆心，半径为，由圆得圆心为，半径为，所以，故D正确．

故选BCD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两圆的位置关系，公共弦长度与公切线长度的求法，属于中档题．
先根据两圆心的距离判断两圆的位置关系，再求公共弦长与公切线的长度．

【解答】

解：圆：的圆心为：，半径，
圆：的圆心为：，半径，
，
又，，
，
圆与相交．故A正确，C错误；
两圆相减即为，是两圆的公共弦长所在的直线，
圆心到交线的距离为，
公共弦长，故B正确；
因为两圆相交且半径相等，
所以公切线长等于两圆心的距离，即为，故D错误．
故选AB．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的坐标运算，与圆有关的轨迹方程，圆与圆的位置关系，属中档题．
利用向量的坐标运算求得的轨迹方程，并判定轨迹为圆，将点的存在性问题转化为两圆有公共点的问题，利用圆与圆的位置关系的条件列出关于的不等式组，解得的取值范围，然后利用不等式的基本性质进行整值估计，从而判定正确答案．

【解答】

解：设，，

，
，
在以原点为圆心，半径为的圆周上，
又在圆上，
两圆有公共点，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
，
即，
解得，
，
，
，
，
，，满足不等式，不满足不等式，
故选ABC．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系，考查集合的交集，属于中档题．
由题可知圆与圆相切，即可求解．

【解答】

解：据题知集合中的元素是圆心为坐标原点，半径为的圆上的任一点坐标，
集合的元素是以为圆心，为半径的圆上任一点的坐标，
若中有且仅有一个元素，
则集合和集合只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，
圆心距或，
，
则的值为或， 
故答案为或 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆与圆的位置关系，二次函数求最值，属于中档题．
两圆相外切可得圆心距等于半径之和，找出和的关系，再利用二次函数求出的最大值．

【解答】

解：由已知，可知圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径．
圆与圆相外切，
，即．
，
的最大值为．
故答案为．

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
由圆，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出的值即可．

【解答】

解：由题可得：，即
故圆的圆心为，半径，
若两圆外切，则，解得，
若两圆内切，则，解得．
故答案为：或．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的公共弦长以及两圆的位置关系．
由题意结合圆的切线性质可得，由勾股定理可得的值，再用勾股定理求得的长度．

【解答】

解：由题，，

根据圆心距大于半径之差小于半径之和，

可得，

再根据题意可得，

所以，

所以，

所以利用，

解得．

故答案为．

17.【答案】解：由圆：，圆：，
两式作差可得：，即的方程为，
点到直线的距离，
则；
由已知可得，，，，，
，
当时，取得最大值，
此时，又，
直线：．
由，解得或．
当时，，此时的方程为：；
当时，，此时的方程为．
的方程为或． 

【解析】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的判定及应用，考查计算能力，是中档题．
由两圆方程作差可得所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长；
由已知可得，，，得到，当时，求得最大值．求出直线的方程，与圆的方程联立求解，然后分类求解所在直线方程．
 

18.【答案】证明：圆的标准方程：，
的圆心为，半径，
圆的标准方程：，

圆心，半径，

两圆圆心距，

又，，

，

所以圆和相交；

解：圆和圆的方程左右分别相减，

得圆和圆的公共弦所在直线的方程，

圆心到直线的距离
，

故公共弦长为．

【解析】本题考查了两圆位置关系的判断以及公共弦长的求法，属于中档题．
由圆的一般式方程得出圆心坐标及圆的半径，求出两圆圆心距及两半径之和与两半径之差的绝对值，比较大小得出两圆的位置关系；

两圆方程作差得出公共弦所在的直线方程，再由圆心到公共弦的距离及圆的半径求出公共弦长．

19.【答案】解：易知两圆的标准方程分别为，，所以圆心分别为，，半径分别为，，圆心距．

当两圆外切时，，即 ，解得．

当两圆内切时，因为圆的半径小于圆心距，所以该圆为小圆，即 ，解得．

【解析】本题主要考查两个圆的位置关系的判断方法，属于中档题．
先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径．
根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得的值；
根据题意得到， 求得的值．
 

20.【答案】【解】由题知圆的圆心，半径圆的圆心，半径，则，

所以两圆外离，所以两圆有四条公切线．

当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，

即，

则

解得或或

当斜率不存在时，直线也和两圆相切．

所以所求切线方程为，，，．

【解析】本题考查圆与圆的位置关系，求圆的公切线方程，是中档题．
易错警示易忽略斜率不存在时公切线的方程，可先判断出两圆的位置关系，确定公切线的条数若求得的直线条数少于确定的条数，则一定有斜率不存在的切线．
 

21.【答案】解：由题意得圆的圆心为，半径，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
直线与圆相切；
，可得，解得或，
直线的方程：或；
因为，，
所以的中点，，
即以为直径的圆的圆心为，半径，
存在两个点使得，
两圆相交，
即，
且，
实数的取值范围是且． 

【解析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，涉及到点到直线的距离公式，圆的标准方程，为中档题．
求出直线方程结合圆心到直线的距离等于半径即可求解；
求出以为直径的圆的圆心和半径，结合已知条件转化为两圆相交即可求解．
 

22.【答案】解：由已知可得两个圆的方程分别为，， 
两圆的圆心距，两圆的半径之和为， 
由两圆的半径之和为，可得 
由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为， 
即，可得舍去，或，解得 
当时，两圆的方程分别为、， 
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 
第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为． 

【解析】本题主要考查两个圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．

先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得的值；

由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为， 求得的值；

当时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离，再利用弦长公式求得弦长．