苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列综合训练题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列综合训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.1数列  苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知数列的通项公式，是数列的最小项，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 在等差数列中，，记，则数列(    )A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项在数列中，，，则(    )A.  B.  C.  D. 在数列中，，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 以上都不对在数列中，，，通过求，猜想的表达式为．(    )A.  B.
C.  D. 已知函数的定义域为，当时，，对任意的，，成立，若数列满足，且，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 在数列中，，，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三次有个球，，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列，则(    )
 A.  B.
C.  D. 数列的前项和为，已知，则．(    )A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或时，取得最大值已知数列满足，下列命题正确的有(    )A. 当时，数列为递减数列
B. 当时，数列一定有最大项
C. 当时，数列为递减数列
D. 当为正整数时，数列必有两项相等的最大项设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    )A. 数列为等比数列
B. 数列的通项公式为
C. 数列为等比数列
D. 数列的前项和为第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知数列满足，则          ．已知数列，，则数列最小项是第          项． 已知数列满足，且，则          ．在数列中，，，求数列的通项公式为          ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．证明：数列是等差数列求的通项公式．本小题分记为数列的前项和，且，．证明：数列是等差数列
求数列的通项公式．本小题分已知数列的前项和为，且求的最小值；求数列的前项和．本小题分
已知数列的前项和，
求数列的前项的和；
求数列的通项公式；
求数列的前多少项和最大．本小题分
已知数列的前项和为，若．
求，，；
求数列的通项公式．本小题分
已知数列满足，，．
设，求数列的通项公式；
求为何值时，最小．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推关系，数列的函数特征，属于中档题．
由题意，，，即，，然后进行求解即可．【解答】解：由题意，，，
即，，
当时，，将，，分别代入求解，
解得
当时，，令，在定义域内显然为增函数，解得，
综上，
故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值，进一步分析得答案．【解答】解：设等差数列的公差为，由，，得，
．
由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于，且逐渐减小．
数列有最大项，无最小项．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列是周期为的周期数列，从而．
本题考查利用数列的递推公式求数列的项，数列的周期性，考查运算求解能力，是一般题．【解答】解：在数列中，，，
，
，
数列是周期为的周期数列，
．
故选：．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．
求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】解：数列中，，，
，，，，
所以数列的周期为，
．
故选：．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列的前项和与第项的关系、考查归纳推理，属于中等题．
利用时，求出，即可求出结果．【解答】解：，，
，解得，
，解得，
，解得，
猜想表达式为．
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查函数的性质和数列求通项，属于中档题．
判断的单调性可得，从而可得是等比数列，求出的通项公式即可得出结论．【解答】解：在中，
令，可得，
，，
设，则，
，
，
，
，在上单调递减，
，，
，
，又，
是为首项，以为公比的等比数列，
，
，
．
故选C．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列的单调性以及分段函数的单调性．
根据题意可知函数在上是减函数，结合函数的解析式可得关于的限制条件，解出即可．【解答】解：数列是单调递减数列，即有，也即，
所以函数在上是减函数，故有，解得．
所以实数的取值范围是
故选C．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了数列的通项公式及其周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得：，通过计算，可得：，进而得出结论．【解答】解：数列满足，，
，，，，，
可得：，
则，
故选：．  9.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推式，同时考查了学生的计算求解能力，是一般题．
由题意可知，，，，，根据逐个判断各个选项的正误即可．【解答】解：由题意可知，，，，，
，
，，故选项A错误，选项C正确，
，，故选项B正确，
，，
显然，故选项D错误．
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题．推导出，再由，由此能求出结果．【解答】解：数列的前项和为，，当时，，
时，，
当时，，，是递减数列，故A错误；
，故B正确；
当时，，故C正确；
，当或时，取得最大值，故D正确．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了数列的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由，再根据的条件讨论即可得出．【解答】解：，当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故A不正确；
，当时，，当时，，
时，，时，，因此数列一定有最大项，故B正确；
，当时，，．
因此数列为递减数列，故C正确；
，当为正整数时，当时，，所以数列必有两项相等的最大项，故D正确．
故选BCD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列的递推关系、等比数列的判定与通项公式，属于中档题．
根据递推关系变形，得到是等比数列，进而求出数列的前项和，进而分析选项即可．【解答】解：由题意，，
故数列为首项为，公比为的等比数列，则，故A正确；
则当时，，
当时，，故，故B错误，
由，，故C错误，
数列的前项和为
，故D正确；
故选AD．  13.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推式，做题时注意验证首项，是中档题．
令求出的值，再利用，
，相减求出，验证首项即可．【解答】解：当时，由已知，可得，
当时，
，
故，
由得，
．
显然当时不满足上式，
，
故答案为：．  14.【答案】 【解析】【分析】先将通项变形为，利用反比例函数的单调性判定出数列的单调性，求出最小值．
本题考查了数列的函数特性、反比例函数的单调性，属于一般题．【解答】解：
由反比例函数的单调性可知，当时，单调递减，此时；
当时，单调递减，此时； 
当时最小．
故答案为：  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题．【解答】解：因为数列满足，且，所以，
所以
．  16.【答案】， 【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，考查化简运算能力，属于一般题．
由，可得，时，将换为，相减，可得所求．【解答】解：，，
可得时，，
时，，
，
两式相减可得，
化简可得，
可得，
则，，
故答案为，．  17.【答案】解：证明：当时，，由，解得，
当时，，代入，消去，可得，
所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．
由题意，得，
由可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以． 【解析】本题考查了等差数列的判定和通项公式，数列的递推关系，属于中档题．
根据当时，，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列；
由可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式，注意的情况．
 18.【答案】解：因为，
所以
，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
由得，
所以，
当时，；
当且时，，
又不适合上式，
故数列的通项公式为． 【解析】本题考查由数列的递推关系求通项公式，等差数列的证明及通项公式，属于中档题．
通过证明为常数，即可证明数列为等差数列；
由求得，利用，即可求得数列的通项公式．
 19.【答案】解：数列的前项和为，且，
，
又当或时，取得最小值，且最小值为；
当时，，
所以，
当时，满足上式，
所以，
由，解得，于是数列前项为负，第项为，第项到项为正，
所以数列的前项和为：
． 【解析】本题主要考查了数列前项和的最值取得条件的应用，考查了数列的通项公式，属于中档题．
根据题意得到即可；
当时，，得到进而得到数列前项为负，第项为，第项到项为正即可．
 20.【答案】解：根据题意，数列的前项和，
则其前项的和；
数列的前项和，
当时，，
当时，；
综合可得：；
根据题意，数列的前项和，
易得，当时，取得最大值，且其最大值为． 【解析】将代入公式，计算可得答案；
根据题意，当时，，可得的值，当时，，求出的表达式，综合可得答案；
根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查数列的递推公式，涉及数列前项和与通项公式的关系，属于基础题．
 21.【答案】解：；
，
所以；
，
所以；
当时，
．
当时，，不满足上式，
所以． 【解析】本题考查由数列前项和求通项公式的方法，考查数学运算能力，属于中档题．
依据可解决此问题；
依据当时，，可解决此问题．
 22.【答案】解：由且，即，
即又，，所以．
当时，
，当时，上式也成立．所以数列的通项公式为；
由可知．
当时，，即；
当时，；当时，，即，
所以当或时，的值最小． 【解析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式，与数列的最大小项问题，属于中档题．