数学苏教版 (2019)4.2 等差数列课时作业

4.2等差数列 苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为 

A.  B.  C.  D.

3. 已知等比数列中，各项都是正数，且、、成等差数列，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在等差数列中，已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设等差数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设等差数列的前项和为，且，则满足的最大自然数的值为                                       (    )

A.  B.  C.  D.

7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石(    )

A. 块
B. 块
C. 块
D. 块

8. 设等差数列的前项和为，若，，则等于  (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 在数列中，若，为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是(    )

A. 若是等差数列，则是等方差数列
B. 是等方差数列
C. 若是等方差数列，则为常数也是等方差数列
D. 若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为

11. 等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为

12. 记为等差数列的前项和，则(    )

A. ，，成等差数列 B. ，，成等差数列
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知数列的前项和为，且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是          ．
14. 数列的前项和为，，数列满足，则数列的前项和为________．
15. 已知是等差数列的前项和，若，，则________．
16. 在等差数列中，，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知数列满足：，，．

证明：数列是等差数列；

是否存在使得数列为等差数列？若存在，求的值及数列的前项和；否则，请说明理由．

18. 本小题分

已知各项均不相等的等差数列的前项和，且成等比数列．

求数列的通项公式；

若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

19. 本小题分
    已知数列的前项和为，
    求数列的通项公式
    若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列若存在，请举例写出此三项若不存在，请说明理由．
20. 本小题分

已知等差数列的公差为，其前项和，．

求实数的值及数列的通项公式；

在等比数列中，，，若的前项和为求证：数列为等比数列．

21. 本小题分

已知数列满足，

记，写出，，并求数列的通项公式；

求的前项和．

22. 本小题分
    在等差数列中，
    已知，，求；
    已知，，，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查等比数列、等差数列的性质，考查利用基本不等式求最小值．

【解答】

解：因为成等差数列，成等比数列，

所以，，

则
，

当且仅当时，等号成立．

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数列的递推关系，等差数列的概念，等差数列的通项公式和等差数列的求和，考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用数列的递推关系，等差数列的概念得数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得，再利用等差数列的求和得，再利用等差数列的通项公式得当时，；当时，，从而得，最后计算得结论．
【解答】
解：因为在数列中，，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，
数列的前项和．
由得，
因此当时，；当时，，
所以这个数列前项的绝对值之和为：
．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解，属于基础题．
先根据等差中项的性质可得，进而利用通项公式表示出，求得，代入中即可求得答案．
【解答】
解：设等比数列的公比为，
依题意可得，
即，整理得，
解得，
各项都是正数，
，，
．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题．
由题意可设，，，利用等差数列的性质可解．

【解答】

解：设，，，
则，，成等差数列．所以，．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的通项公式、求和、性质，属于基础题．
先根据题意求得，再由等差数列的求和公式结合等差数列的性质即可得，从而求解．

【解答】
解：设的公差为，则，所以，
所以．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
等差数列的前项和为，且，，可得，化为：，，，即可判断出，．
【解答】
解：等差数列的前项和为，且，，
，
化为：，，，，
则，
，
满足的最大自然数的值为．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，根据等差数列的性质即可求出，再根据前项和公式即可求出．

【解答】

解：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，
由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，
则，
则，
则三层共有扇面形石板块，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
由已知，列出方程组，可得，，由此能求出结果．

【解答】

解：等差数列的前项和为，，，
由题意，得，
解得，，
则．
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题重点考查“等方差数列”，解题时要注意掌握数列的概念，属于较难题．
根据等方差数列的定义逐个判断即可．
【解答】
解：、是等差数列，则为公差，
不一定是常数，
故不一定是等方差数列，故A错误；
B、数列中，，
是等方差数列，故B正确
C、数列中的项列举出来是，，，，，，，
数列中的项列举出来是，，，，
，
，
，
同理可得，
为常数是等方差数列，故C正确
D、是等差数列，
，
是等方差数列，
，
，
当时，数列是常数列，
当时，，数列是常数列，
综上数列是常数列，故D正确，
故选BCD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的通项公式和等差数列的求和，属于中档题．
利用等差数列的通项公式，将 化为，由等差数列是递增数列，可知，，由等差数列的求和公式可得，结合二次函数的性质可知或时最小，时的最小值为．
【解答】
 解：设等差数列的公差为，
由，可得，即，
由等差数列是递增数列，可知，
则，故A、B正确；
，
由对称轴可知，
当或时最小，故C错误；
令，
可知舍去或，
即时，的最小值为，故D正确，
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式以及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由等差数列是递增数列，可得公差，由，得，从而，，由，得，则，，可得时的最小值为．
【解答】
解：由等差数列是递增数列，得公差，故A选项错误；
，
，
，即，得，
，，故B选项正确；
可知或最小，故C选项错误；
由，得，则，，
所以时的最小值为，故D选项正确；
故选BD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列前项和的性质，属于基础题．
设的公差为，则，由此验证各个选项即可．

【解答】

解：设的公差为，则，
，
对于，，，，
满足，所以成等差数列，A正确；
对于，分别等于，，，满足，所以成等差数列，B正确；
对于，，，
当时，，故C错误；
对于，，故D正确；
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数列递推关系、等差数列的判断、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
由，，，两式作差得，，可得，，两式再作差得，可得数列的偶数项是以为公差的等差数列，从起奇数项也是以为公差的等差数列．由对，恒成立，当且仅当即可得出．
【解答】
解：因为，
所以，

两式作差得，
所以，

两式再作差得，
可得数列的偶数项是以为公差的等差数列，
从起奇数项也是以为公差的等差数列．

若对恒成立，当且仅当．

又
，

所以，
解得：．

即首项的取值范围是．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了数列的递推公式，等差数列的概念，求和公式，属于中档题．
由题意构造一个等式，与已知的等式相减求出，即可求解出，可知数列为等差数列，即可求解．
【解答】
解：因为
所以
把得，
又，
，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的前项和；
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，属于中档题．
由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为由，得；可得的值，即可得出结果．
【解答】
解：由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为．
则，
．
故，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

略

17.【答案】解：，，两式相减得，
为偶数时，，，，，，
数列是首项为，公差为的等差数列．
由题知，，
若为等差数列，则，
故即，
此时，
，即对有，
故为等差数列，且， 

【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的判定以及等差数列的概念与通项公式及前项和公式，属于中档题．
根据递推关系式得出，进而得出是等差数列；
由题意求出，再由为等差数列，则，得出，再由求出对有，得出为等差数列，由等差数列的前项和公式求出．
 

18.【答案】解：设数列的公差为，
则，又因为，
所以；
因为，所以
．

由可得，
若存在，使得成立，则，
又，当且仅当时，取等号，

所以实数的取值范围是 

【解析】本题主要考查等差数列通项公式与求和公式，等比数列的性质，以及利用裂项相消法求和，数列与不等式，属于中档题．
利用等差数列通项公式与求和公式，以及等比数列的性质，求出数列的通项公式；
先利用裂项相消法求出，然后把不等式进行处理，再利用基本不等式求最值．
 

19.【答案】解：当时，，可得；
当时，，所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
由，
当，，显然不适合；
，适合，即，，构成公差为的等差数列．
另解：由，
当，，显然不适合；
当，适合，即，，构成公差为的等差数列． 

【解析】本题考查数列的递推关系与通项公式，考查等差、等比数列的概念，属于基础题．
由已知，根据与的关系，可得，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是可写出数列的通项公式；
因为，可找到，适合条件，另外，也适合．
 

20.【答案】解：依题意，，
又，，

所以，，即，

所以．

证明：因为，，所以．

所以，所以．

所以，所以．

又，

所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

【解析】本题考查数列的递推关系，等差与等比数列的综合应用，属于中档题．
，又，，所以，，即，进而写出通项公式；
先得到，所以所以，所以又，再通过等比数列的定义证明即可得到结论．
 

21.【答案】解：为偶数，则，，

，即，且，

是以为首项，为公差的等差数列，

，，．

当为奇数时，，

的前项和为：
 

．

由可知，

．

的前项和为．

【解析】本题考查数列的通项公式与前项和的求解，属于中档题．

根据已知条件得到，即，可知是等差数列，即可求出通项公式；

由题意可知当为奇数时，则的前项和为由得到，运用等差数列的前项和公式即可求解．

22.【答案】解：由已知条件得解得
所以．
，所以．
，
所以． 

【解析】本题主要考查的是等差数列的通项公式及前项和公式的应用．
直接代入公式列方程解方程组求解即可；
结合等差数列的性质及求和公式求解即可．