2023届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考（一）数学试题含解析

2023届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得，分析可得，再根据并集定义求解．

【详解】

显然，即

∴

故选：C．

2．已知，则是的（       ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】记集合，，用集合法判断.

【详解】记集合，.

因为AB，所以是的充分不必要条件.

故选：A

3．已知函数，则（       ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中可求出

【详解】由，得

，

令，则，解得，

故选：A

4．已知是上的偶函数，当时，，则时，（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由偶函数的性质可求得函数在时的解析式.

【详解】因为是上的偶函数，当时，，则.

故选：C.

5．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（       ）

A．函数有极大值和

B．函数有极小值和

C．函数有极小值和极大值

D．函数有极小值和极大值

【答案】D

【分析】根据函数的图象判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可得解.

【详解】解：由图可知，当时，，当，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

所以函数有极小值和极大值.

故选：D.

6．已知正实数满足，则的最小值为（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

7．现有张奖券，其中有一、二、三等奖各张，其余张无奖，现将这张奖券随机分发给名同学，每人张，则恰有两人获奖的情况数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，结合分组分配的原理可得结果.

【详解】只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，

则两人中有一人分了两张奖券，故恰有两人获奖的情况数是.

故选：B.

8．已知，则的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出在上单调递减，得到，进而得到，即可得到答案.

【详解】令,则.

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递减.

而

所以在上有.

所以在上单调递减.

所以，即

故.故.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．若事件互斥，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则事件相互独立

【答案】ABD

【分析】A选项由概率加法公式可得；BD选项对条件概率公式的运算和概念的理解可得；C选项通过画图得到概率关系即可得到答案

【详解】A选项中，若互斥，则，故正确；

B选项中，，所以，故正确；

C选项中，，故错误；

D选项中，表示M发生条件下N发生的概率为0.2，表示N发生的概率为0.2，则表示相互独立，故正确

故选：ABD

10．在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．对任意，都有

【答案】BCD

【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项

【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；

结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；

代入1得，且所以，故B正确

故选：BCD

11．如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（       ）

A．存在点使得平面

B．若，则动点的轨迹长度为

C．若平面，则动点的轨迹长度为

D．若平面，则三棱锥的体积为定值

【答案】BD

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用空间中两点间的距离公式可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断D选项.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设点，其中，，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

，若平面，则，

则，解得，，不合乎题意，A错；

对于B选项，若，可得，

则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，

所以，动点的轨迹长度为，B对；

对于C选项，若平面，则，

则，

所以，点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为，C错；

对于D选项，因为平面平面，

若平面，则点的轨迹为线段，

因为且，所以，四边形为平行四边形，

所以，，，则点到平面的距离为定值，

又因为的面积为定值，则为定值，D对.

故选：BD.

12．已知函数，下列选项正确的是（       ）

A．函数的单调减区间为、

B．函数的值域为

C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是

D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.

【详解】对于A选项，当时，，则，

当时，，则，由可得，

所以，函数的单调减区间为、，A对；

对于B选项，当时，，

当时，，

因此，函数的值域为，B错；

对于CD选项，作出函数的图像如下图所示：

若，由可得，则方程只有两个不等的实根；

若，由可得或或，

由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，

若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对；

若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对.

故选：ACD.

三、填空题

13．化简___________.

【答案】

【分析】利用指数的运算性质、对数的换底公式计算可得结果.

【详解】原式.

故答案为：.

14．已知定义在上的函数渙足，则___________.

【答案】

【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解.

【详解】因为在R上的函数满足，且，

令，有，

又，

所以函数是以4为周期的周期函数，

所以.

故答案为：．

15．设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积___________.

【答案】4

【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为，进而求得轴，再计算的面积即可.

【详解】

如图，作于，由抛物线定义知，又点A的横坐标为，则点K的横坐标为，

点F的横坐标为，则轴，则.

故答案为：4.

16．已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】构造函数,利用导函数判断出当x>0时, 单调递增，得到当x>2时，从而；当时，，从而.由为奇函数得到不等式的解集.

【详解】构造函数，则当时，，所以当x>0时单调递增.

因为f(2)=0，所以，所以当x>2时，从而.

当时，，从而.

又奇函数的图像关于原点中心对称，所以的解集为.

故答案为: .

四、解答题

17．已知函数在时取得极小值，其中是自然对数的底数.

(1)求实数、的值；

(2)若曲线在点处的切线过原点，求实数的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由已知可得，即可求得实数、的值；

（2）求出切线方程，将原点坐标代入切线方程可求得的值.

（1）解：因为，该函数的定义域为，则，由已知可得，解得.此时，，由可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，合乎题意.综上，，.

（2）解：曲线在点处的切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，即，解得.

18．炎炎夏日，酷暑难耐!一种新型的清凉饮料十分畅销，如图是某商店月日至日售卖该种饮料的累计销售量（单位：十瓶）的散点图：

（参考数据：，，）

(1)由散点图可知，日的数据偏差较大，请用前组数据求出累计销售量（单位：十瓶）关于日期（单位：日）的经验回归方程；

(2)请用（1）中求出的经验回归方程预测该商店月份（共天）售卖这种饮料的累计销售量.

附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】(1)

(2)约为瓶

【分析】（1）利用参考数据结合最小二乘法公式可求得经验回归方程；

（2）将代入（1）中的经验回归方程，可得结果.

（1）解：由题意可得，，，，所以，，，因此，经验回归方程为.

（2）解：月份共有天，于是累加销售量为（十瓶），因此，预测该商店月份（共天）售卖这种饮料的累计销售量约为瓶.

19．如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，.

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理来证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.

（1）设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面.

（2）依题意，平面平面，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，，，，设平面的法向量为，则，故可设.设平面与平面的夹角为，则.

20．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的值；

(2)估计该度假区名㵀客中，消费金额低于元的人数；

(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金劵（单位：元）的方案（如下表），

方案

方案

抽奖规则如下：①消费金额低于元的游客按方案抽奖一次；②消费金额不低于元的游客按方案抽奖两次.记为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)人

(3)分布列答案见解析，

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；

（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于元的频率，再乘以可得结果；

（3）分析可知随机变量的可能取值为、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.

（1）解：由题意可得，解得.

（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于元的频率为，于是估计该度假区名游客中消费金额低于元的人数为人.

（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于元的概率为，不低于元的概率为，获赠的代金券金额的可能取值为、、、，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，.

21．已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设点的坐标为，其中，求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，求出点的坐标，再利用斜率公式可证得结论成立.

（1）解：由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为.

（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，，则直线的方程为，联立，可得，即点，，，则，因此，、、三点共线.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域，求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）令，，利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，结合函数的图象可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.

（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于换元，将问题转化为，通过求出的取值范围，结合函数的图象得出关于实数的不等式进行求解.