2022届四川省高三普通高中学业水平考试数学试题含解析

2022届四川省高三普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果.

【详解】.

故选：B.

2．已知是虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数的除法运算求解即可.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数除法的运算,属于基础题.

3．已知向量，且，则实数的值为（       ）

A．4 B．1 C．－1 D．－4

【答案】A

【分析】由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你

【详解】因为，所以，即，

所以.

故选：A.

4．已知双曲线，则其渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．

【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为.

故选：C.

5．若从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则的概率是(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】列举法列出所有结果，选出符合条件的结果，利用古典概型计算公式，即可求出结果．

【详解】从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，

将取出的，记为，

所有可能出现的结果为： ，共个，

其中满足的有，共3个，

所以，的概率为．

故选：B．

6．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义，和正弦的二倍角公式，即可求出结果.

【详解】因为角终边过点，

所以，

所以.

故选：A．

7．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的图象，再结合函数图象的特点，即可得到结果.

【详解】函数的图象，是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；

又由于函数图象关于原点中心对称，所以图象关于中心对称，所以C正确.

故选：C.

8．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果.

【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，

则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），

所以，则球的体积．

故选：B．

9．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（       ）

A．－2 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】由约束条件作出可行域如图，

联立方程，得

由，得，

由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大，有最大值为．

故选：D．

10．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由偶函数的定义和已知解析式，可得，在单调递增函数，在 单调递减函数．再将不等式转化为 或，利用单调性求解即可.

【详解】函数为上的偶函数，当时，，

可得，在单调递增函数，在 单调递减函数．

所以不等式等价为 或，解得或，即不等式的解集为.

故选：D．

二、填空题

11．计算：________.

【答案】

【分析】根据指数幂的运算，即可求出结果.

【详解】.

故答案为：.

12．在中，若，则_____________.

【答案】

【详解】：由正弦定理得又所以

13．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.

【答案】8

【解析】假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果.

【详解】设样本容量为，则

高二所抽人数为.

故答案为：8

【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.

14．若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为________.

【答案】或或

【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，建立关于的方程，求解方程即可得到结果．

【详解】因为直线与圆相交于两点，且，

所以圆心到直线的距离为，

即，解得：或．

故答案为：或.

三、解答题

15．已知等差数列的前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差中项可得，进而求出公差，由此即可求出数列的通项公式；

（2）由题意可知是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.

(1)

解：设等差数列的公差为，

因为，

所以，即，

所以,

所以，即；

(2)

解：由（1）可知，，

所以，

又，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以的前项和.

16．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

（2）根据正弦函数的性质，可求得函数在上的最值．

(1)

解：∵，

∴，即函数的最小正周期为．

(2)

解：在区间上，，

∴，

∴，

∴的最大值为，的最小值为．

17．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.

(1)若，求四棱锥的体积；

(2)求证：平面.

【答案】(1)

(2)证明详见解析

【分析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；

（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明面，又由中位线定理，可得，进而证明出结果.

(1)

解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，

∴；

(2)

证明：∵四边形为矩形，

∴，

∵底面，面，

∴，

又，∴面，

又，分别是，的中点，

∴，

∴平面.

18．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若直线的斜率为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的焦点，可得，进而求出抛物线方程；

（2）由（1）可知，直线的方程为，联立方程，利用弦长公式，即可求出结果.

(1)

解：因为椭圆的右焦为，所以，

所以，即，

所以抛物线的标准方程；

(2)

解：由（1）可知，直线的方程为，

联立方程，得，

设，

所以,

所以.

19．已知函数.

(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导函数，求得，，由直线的点斜式方程可求得答案；

（2）求得函数，求导函数，将问题等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，分当或时，当时，根据二次函数的性质和零点存在定理可求得实数a的取值范围.

(1)

解：因为函数，所以，则，，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即；.

(2)

解：因为，所以，

函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，

因为函数的对称轴为，

当或时，函数在区间（2，3）上单调，

所以，即，解得，满足题意；

当时，函数在区间是单调递减，在区间是单调递增，则需：或，

即或，解得或，与相矛盾，

所以实数a的取值范围.