2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题含解析

2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．如图所示的几何体是（    ）

A．圆锥 B．棱锥 C．圆台 D．棱柱

【答案】D

【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项.

【详解】

由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体的识别，属于基础题.

2．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据平面向量的坐标运算可求得的值.

【详解】

已知向量，，则，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题.

3．圆C: x2+y2= 1的面积是（    ）

A． B． C．π D．2π

【答案】C

【解析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.

【详解】

由圆的方程知：圆C的半径为1，所以面积，

故选：C

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.

4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可

【详解】

解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，

所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是,

故选：A

【点睛】

此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题

5．要得到函数y=1+sin x的图象，只需将函数y=sin x的图象（    ）

A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度

C．向右平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度

【答案】A

【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移y=sin x的图象得到y=1+sin x的图象.

【详解】

根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y=sin x的图象向上平移1个单位可得y=1+sin x的图象，故选：A.

【点睛】

本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题.

6．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则a4=（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【解析】由已知可得通项公式，即可求a4的值.

【详解】

由题意an+1=2an可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

故可得数列的通项公式为，

∴，

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.

7．已知函数，若f(0)=a，则f(a)=（    ）

A．4 B．2 C． D．0

【答案】C

【解析】先由f(0)=a，可得，从而可求出f(a)的值

【详解】

解：因为f(0)=a，代入分段函数中可得，得，

所以，

故选：C

【点睛】

此题考查分段函数求值问题，属于基础题

8．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.

【详解】

，所以，函数的最小正周期为.

故选：B.

【点睛】

本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

9．用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（    ）

A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2

【答案】C

【解析】由已知可得，而矩形的面积，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.

【详解】

设矩形的长、宽分别为 cm，则有，即，

∵矩形的面积，

∴ cm2，当且仅当时等号成立，

故选：C

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.

10．已知定义在上的函数y =f(x)的图象如图所示.下述四个结论:

①函数y=f(x)的值域为

②函数y=f(x)的单调递减区间为

③函数y=f(x)仅有两个零点

④存在实数a满足

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【答案】D

【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与轴交点的个数可得其零点的个数，当时，可得

【详解】

解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于，所以①错误；

由图像可知函数y=f(x)的单调递减区间为，所以②正确；

由图像可知其图像与轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；

当时，有，所以④正确，

故选：D

【点睛】

此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题

二、填空题

11．已知集合，若，则______________.

【答案】

【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.

【详解】

由题意，集合，

因为，所以，即是方程是方程的根，解得，

当，可得集合,此时满足，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.

12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________

【答案】

【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可

【详解】

解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人，

所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为，

故答案为：

【点睛】

此题考查分层抽样的应用，属于基础题

13．已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________.

【答案】-1

【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k值.

【详解】

由l1⊥l2，知：，

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.

14．已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{ an }的前5项和S5= __________.

【答案】15

【解析】由题意可得等差数列通项公式，结合可得前n项和公式，进而求即可.

【详解】

由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，

∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，

∴由等差数列前n项和公式，

即可得，

故答案为：15.

【点睛】

本题考查了求等差数列前n项和，属于简单题.

15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.

【答案】

【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可

【详解】

解：因为角α的终边经过点(3，4)，

所以，

故答案：

【点睛】

此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题

三、解答题

16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;

（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【答案】（1）25小时；（2）0.3.

【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有、，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【详解】

（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，

∴由频率最大区间为，则众数为；

（2）由图知：不少于30小时的区间有、，

∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【点睛】

本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.

17．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.

（1）求内角B的大小;

（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.

【答案】（1），（2）f(x)的最大值为2，此时

【解析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值

【详解】

解：（1）因为△ABC中，AB=AC=2，BC=2.

所以，

因为，所以，

（2）由（1）可知，

所以当时，取最大值2，即

【点睛】

此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题

18．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.

（1）求证: EF//平面PAB;

（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱锥F-AEC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】（1）连接有中位线，结合与面的关系，由线面平行的判定即可证面；（2）过作交于易知是三棱锥F-AEC的高，结合已知有即可求三棱锥F-AEC的体积.

【详解】

（1）连接，在△中为中位线，故，

∵面，面

∴面；

（2）过作交于，如下图示：

∵PA⊥平面ABC，

∴⊥平面ABC，即是三棱锥F-AEC的高，又F为PC的中点，

∴由PA=6，则，

又AB=AC=4，E为BC的中点且AB⊥AC，知：，

∴三棱锥F-AEC的体积.

【点睛】

本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.

19．已知函数，其中，且.

（1）判断的奇偶性，并说明理由;

（2）若不等式对都成立，求a的取值范围;

（3）设，直线与的图象交于两点，直线与的图象交于两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数，使四边形为正方形.

【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）；（3）证明见解析

【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;

（2）对都成立，可求出a的范围

（3）由，求出，由已知得到，求得得证.

【详解】

(1)    是偶函数

,是偶函数

（2）

当时 满足题意，

当时 不满足题意

所以

（3）

因为四边形为正方形，所以 ,设 则

，又

故存在实数当使得四边形为正方形.

【点睛】

本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.