专题3.4方差-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.4方差
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道．填空8道、解答6道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•高新区期末）已知一组数据：1，2，a，b，5，8的平均数和中位数都是4（a，b均为正整数），在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（　　）
A．中位数不变 B．众数不变 C．平均数不变 D．方差不变
【分析】根据该组数据的平均数得出a+b的值，再根据中位数得出a、b的值，讨论去掉一个最大数后，该组数据的平均数、标准差和中位数、众数的变化情况．
【解析】根据数据1，2，a，b，5，8的平均数为4，得（1+2+a+b+5+8）＝6×4，解得a+b＝8；
由中位数是4，所以a＝b＝4或a＝3，b＝5；
去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和方差都变小，中位数可能是4，也可能是3，
当a＝b＝4时，众数与原来相同，都是4；
当a＝3，b＝5时，众数与原来也相同，都是5．
故选：B．
2．（2021•西湖区二模）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
【解析】这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
3．（2021•常州二模）对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，用算式S2=1n[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（xn﹣5）2]计算方差，其中“5”是这组数据的（　　）
A．最小值 B．众数 C．中位数 D．平均数
【分析】根据方差的定义可得答案．
【解析】方差s2=1n[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（xn﹣5）2]中“5”是这组数据的平均数，
故选：D．
4．（2021•姑苏区一模）有一组数据：2，1，2，5，6，8，下列结论错误的是（　　）
A．方差是5 B．平均数是4
C．中位数是3.5 D．众数是2
【分析】根据方差、平均数、中位数、众数的概念求解．
【解析】这组数据的平均数是：16（2+1+2+5+6+8）＝4，
方差是：16×[2×（2﹣4）2+（1﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（8﹣4）2]=193；
把这些数从小到大排列为：1，2，2，5，6，8，中位数是2+52=3.5；
2出现了2次，出现的次数最多，则众数是2．
结论错误的是A．
故选：A．
5．（2021春•江阴市期中）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（　　）
A．平均数是1 B．方差是3.5
C．中位数是0.5 D．众数是﹣1
【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【解析】将这组数据重新排列为﹣1、﹣1、2、4，
所以这组数据的平均数为−1−1+2+44=1，中位数为−1+22=0.5，众数为﹣1，
方差为14×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：B．
6．（2021•东海县模拟）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，下列说法正确的有（　　）个．
①甲、乙的众数相同；②甲、乙的中位数相同；③甲的平均数小于乙的平均数；④甲的方差小于乙的方差．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可．
【解析】甲的众数为7，乙的众数为8，故①错误；
甲的中位数为7，乙的中位数为4，故②错误；
甲的平均数为15×（2+6+7+7+8）＝6，乙的平均数为15×（2+3+4+8+8）＝5，故③错误；
甲的方差为15×[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.4，
乙的方差为15×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（8﹣5）2+（8﹣5）2]＝6.4，甲的方差小于乙的方差，故④正确；
故选：A．
7．（2021•罗湖区三模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解析】∵S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙，
故选：C．
8．（2021春•沭阳县月考）随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（　　）

A．平均数是9 B．众数是9 C．中位数是9 D．方差是9
【分析】利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解．
【解析】A、平均数是：150×（2×7+12×8+20×9+16×10）＝9，故此选项说法正确；
B、众数是9，故此选项说法正确；
C、中位数是9，故此选项说法正确；
D、方差是：150×[2×（7﹣9）2+12×（8﹣9）2+20×（9﹣9）2+10×（10﹣9）2]＝0.6，故此选项说法错误．
故选：D．
9．（2021春•镇海区期末）下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：
运动员
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.1
9.2
9.1
9.2
方差（环2）
3.5
15.5
16.5
3.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解析】∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
10．（2021•宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁
x
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【解析】甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021•姜堰区二模）若一组数据1、2、3、4、5的方差是S12，另一组数据101、102、103、104、105的方差是S22，则S12　＝　S22．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加上100，根据差不变规律即可得波动不会变，所以方差不变．
【解析】∵一组数据1、2、3、4、5的方差是S12，
∴另一组数据100+1、100+2、100+3、100+4、100+5的方差也是S12，
即数据101、102、103、104、105的方差S22＝S12．
故答案为：＝．
12．（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为　1或6　．
【分析】根据方差的定义列方程求解即可得出结果．
【解析】这组数据的平均数为：15（2+3+4+5+x）=14+x5，
方差是：15[（14+x5−2）2+（14+x5−3）2（14+x5−4）2（14+x5−5）2（14+x5−x）2]＝2，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∴x的值为1或6，
故答案为：1或6．
13．（2021•海安市模拟）甲、乙两位同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，他们成绩的平均数满足x甲=x乙，方差S甲2＞S乙2，则成绩较稳定的同学是 　乙　（填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解析】∵x甲=x乙，方差S甲2＞S乙2，则成
∴乙的成绩更加稳定，
故答案为乙．
14．（2021•鼓楼区一模）某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为　0.4　cm2．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【解析】这组数据的平均数是：15（173+174+174+174+175）＝174（cm），
则这5名学生身高的方差为15×[（173﹣174）2+3×（174﹣174）2+（175﹣174）2]＝0.4（cm2）．
故答案为：0.4．
15．（2021•苏州一模）学校足球队5名队员的年龄分别是15，13，15，14，13，其方差为　0.8　．
【分析】先计算出数据的平均数，然后根据方差公式计算．
【解析】5名队员的平均年龄为15（15+13+15+14+13）＝14，
所以数据的方差为S2=15[（15﹣14）2+（13﹣14）2+（15﹣14）2+（14﹣14）2+（13﹣14）2]＝0.8．
故答案为0.8．
16．（2021•宝应县一模）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝11.5．你认为适合选　甲　参加决赛．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解析】∵S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝11.5，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴甲的成绩稳定，
∴适合选择甲参加决赛，
故答案为：甲．
17．（2020春•福州期末）甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S2甲与S2乙的大小关系是S2甲　＞　S2乙．（填“＞”或“＜”）

【分析】利用方差反映一组数据的波动大小的一个量进行判断．
【解析】∵甲地日平均气温的比乙地的日平均气温的变化幅度大，
∴方差S2甲＞S2乙．
故答案为＞．
18．（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中
（1）众数是　3　；
（2）a的值是　1　；
（3）方差是　85　．
【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．
【解析】（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；
（2）（3×3+a+5）＝3×5，
解得，a＝1，
（3）S2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，
故答案为：3，1，85．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•秦淮区二模）某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．

甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（环2）
甲
　7　
7.5
　1.25　
乙
6
　6　
3.5
（1）补全统计图和统计表；
（2）如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．
【分析】（1）根据乙的平均数求出总环数，从而求出乙的第8次射击的环数，再根据，中位数，平均数的定义计算即可；
（2）根据平均数、众数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可．
【解析】（1）6×8﹣（4+3+5+6+7+6+8）＝9（环），
甲的平均数：（8+8+8+7+8+6+5+6）÷8＝7（环），
乙的中位数为：（6+6）÷2＝6（环），
甲的方差：18×[4×（8﹣7）2+（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1.25；
图表补全：

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（环2）
甲
7
7.5
1.25
乙
6
6
3.5

故答案为：7，6，1.25；
（2）要从甲、乙两人中选一位参加比赛，会选甲，
理由：∵甲的平均成绩、中位数比乙的都高，而且甲成绩的方差较小，甲的成绩较稳定．
∴应选甲运动员．
20．（2021•盐都区二模）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某校组织七、八年级各200名学生对相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的测试成绩，相关数据整理如下：
七年级：74，86，74，93，81，71，80，87，77，97；
八年级：87，74，94，86，82，76，77，82，78，84．
分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差，填入下表（部分结果已填入）：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82
①　80.5　
74
66.6
八年级
②　82　
82
③　82　
④　33　
（平均数：x=1n（x1+x2+…+xn），方差：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]）
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念求解即可．
【解析】①七年级测试成绩从小到大排列为：71，74，74，77，80，81，86，87，93，97；
∴七年级测试成绩的中位数：（80+81）÷2＝80.5；
②八年级测试成绩的平均数：110（87+74+94+86+82+76+77+82+78+84）＝82；
③八年级测试成绩的众数为：82；
④八年级测试成绩的方差为：
110[（87﹣82）2+（74﹣82）2+（94﹣82）2+（86﹣82）2+（82﹣82）2+（76﹣82）2+（77﹣82）2+（82﹣82）2+（78﹣82）2+（84﹣82）2]＝33．
故答案为：①80.5；②82；③82；④33．
21．（2021•工业园区一模）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下：

（1）填表：

平均数
中位数
众数
方差
甲
　7　
7.5
8
　2.2　
乙
7
　6.5　
　6　
1.2
（2）如果你是教练，你会选择谁参加正式比赛？请说明理由．
【分析】（1）先根据题意得出甲、乙10次的成绩，再根据平均数和方差、中位数及众数的概念求解即可．
（2）在平均数相等的情况下，从中位数、众数和方差的角度分析求解即可．
【解析】（1）根据题意，甲10轮的成绩分别为：4、5、6、7、7、8、8、8、8、9，
乙10轮的成绩分别为：6、6、6、6、6、7、8、8、8、9，
∴甲的平均数为4+5+6+7+7+8+8+8+8+910=7，方差为110×[（4﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.2，
乙成绩的中位数为6+72=6.5，众数为6，
补全表格如下：

平均数
中位数
众数
方差
甲
7
7.5
8
2.2
乙
7
6.5
6
1.2
（2）选择甲参加比赛，理由如下：
∵甲乙的平均成绩相同，而甲成绩的中位数大于乙，
∴甲成绩的高分次数多于乙．
∴选择甲参加比赛（答案不唯一，合理均可）．
22．（2021•南京一模）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
月份
销量
品牌
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
A品牌
16
31
29
24
24
24
20
B品牌
16
20
24
25
26
27
30
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由．
【分析】（1）先计算出两种品牌洗衣机的平均销量，然后根据方差公式计算A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于平均销量相同，则根据方差的意义可判断B品牌洗衣机的销量稳定，再根据B两种品牌洗衣机销量呈上升趋势可建议商场采购B品牌洗衣机．
【解析】（1）∵xA=17（16+31+29+24+24+24+20）＝24，
xB=17（16+20+24+25+26+27+30）＝24，
∴SA2=17[（16﹣24）2+（31﹣24）2+（29﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）2+（20﹣24）2]＝22，
SB2=17[（16﹣24）2+（20﹣24）2+（24﹣24）2+（25﹣24）2+（26﹣24）2+（27﹣24）2+（30﹣24）2]=1307，
（2）∵xA=xB，
∴A、B两种品牌洗衣机的平均销量相同，
∵SA2＞SB2，
∴B品牌洗衣机的销量稳定，并且B两种品牌洗衣机销量呈上升趋势，
∴建议商场采购B品牌洗衣机．
23．（2021•启东市模拟）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝　9　，c＝　9　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数和众数的概念很容易求出b．c的值；
（2）利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
（3）通过比较以上四个数量指标，在平均数，中位数，众数相同的情况下，选择方差较小的参加．
【解析】∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，
位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）乙的平均数a=4+9+8+9+105=8．
∵方差的公式：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]，
∴d=15[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
24．（2021春•鄞州区期末）据悉某市即将建设海上风电项目，需要铺设一条海底电缆，项目方从甲、乙两厂中分别选取6根不同批次的电缆检测载流量，数据统计如表（抽样数据单位：千安）．
甲、乙两厂电缆载流量统计表
电缆
一
二
三
四
五
六
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
1.6
1.6
1.3
0.7
1.3
1.3
a
1.3
1.3
0.09
乙厂
0.7
1.5
1.5
1.3
1.5
1.3
1.3
b
c
0.08
（1）补全表中数据，a＝　1.3　，b＝　1.4　，c＝　1.5　；
（2）若优质的电缆是有较高的载流量且性能稳定，请你结合表中数据，帮助项目方选择合适的电缆厂家，并写出两条推荐理由．
【分析】（1）根据算术平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）在平均数相等的情况下，比较中位数和方差可得答案．
【解析】（1）由表知a=3×1.3+2×1.6+0.76=1.3（千安），
将数据有小到大排列为：0.7、1.3、1.3、1.5、1.5、1.5，
b=1.3+1.52=1.4（千安），c＝1.5千安，
故答案为：1.3、1.4、1.5；
（2）选择乙厂家，理由如下：
由表可知甲、乙两厂电缆载流量的平均数相等，而乙厂电缆载流量的中位数大于甲厂、电缆载流量的方差小于甲厂，
∴乙厂电缆载流量比甲厂高且稳定．