专题2.6直线与圆的位置关系-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.6直线与圆的位置关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道，填空8道，解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•宿豫区期中）已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解析】如图所示：根据题意可知，圆的半径r＝4．
因为OP＝4，当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系；
当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4，所以是相交的位置关系．
所以l与⊙O的位置关系是：相交或相切，
故选：D．

2．（2019秋•邗江区校级期中）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是（　　）
A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3
【分析】直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，①当d＝r时，直线l和⊙O相切，②当d＜r时，直线l和⊙O相交，③当d＞r时，直线l和⊙O相离，根据以上内容得出即可．
【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，
∴r＞3，
故选：C．
3．（2021·江苏无锡市·九年级一模）已知的圆心O到直线l的距离为5，的半径为3，则直线l和的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【分析】根据直线AB和⊙O相离⇔d＞r进行判断．
【解析】∵的圆心O到直线l的距离为5，的半径为3，
∴直线AB与⊙O相离．
故选：A．
4．（2021·盐城市初级中学九年级期中）若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】D
【分析】先判断点在上，利用点到直线的距离的定义可得到点到直线的距离，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断直线与的位置关系．
【解析】的半径为2，，
点在上，
点到直线的距离，
直线与相切或相交．
故选：D．
5．（2021·江苏宿迁市·九年级一模）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与所在直线的位置关系是（ ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
【答案】A
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AB=5，然后可得，进而根据直线与圆的位置关系可求解．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
根据等积法可得，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆，
∴该圆的半径为，
∵，
∴圆与AB所在的直线的位置关系为相交，
故选A．
6．（2020·常州市第二十四中学九年级月考）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）

A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可．
【解析】设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切．
故选：D．

7．（2019秋•东台市期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（　　）

A．r≥125 B．r＝3或r＝4 C．125≤r≤3 D．125≤r≤4
【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．
【解析】作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=，
即圆心C到AB的距离d=125，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是125≤r≤4．
故选：D．

8．（2019秋•锡山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（　　）

A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s
【分析】由题意可求OP＝2，分圆心P在x轴下方和x轴上方两种情况讨论可求解．
【解析】∵⊙P与x轴相切
∴OP＝2
当点P在x轴下方，即点P（0，﹣2）
∴t=−2−(−6)2=2s
当点P在x轴上方，即点P（0，2）
∴t=2−(−6)2=4s
故选：C．
9．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学）已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有两个公共点，那么x的取值范围是（　　）

A．0＜x≤ B．l＜x＜ C．1≤x＜ D．x＞
【答案】B
【分析】当⊙O与射线AC相切时，OA有最大值，再考虑有两个公共点时，OA的取值范围．
【解析】当⊙O与AC相切时，OA最长，
故OA＝，

∵点O与点A不重合，且与射线AC有两个公共点，
∴故OA的长应大于1，
∴x的取值范围是1＜x＜，
故选：B．
10．（2019·江苏无锡市·九年级期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）

A．2cm或8cm B．2cm C．1cm 或8cm D．1cm
【答案】A
【分析】根据垂径可得：BH=AB=4，再利用勾股定理得出OH长，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线平移的距离为半径加上OH，以此得出答案即可.
【解析】

如图，连接OB
∵AB⊥OC
∴AH=BH
∴BH=AB=4
在Rt△BOH中，OB=OC=5
∴OH=
又∵将直线l通过平移使其与圆O相切
∴直线l垂直过C点的直径。垂足为直径的两端点
∴当直线l往下平移时，平移距离=5-3=2cm
当直线l往上平移时，平移距离=5＋3=8cm
所以答案为A选项.
二、填空题（本大题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2020·江苏苏州市·九年级期中）已知的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与的位置关系是__________
【答案】相交．
【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2.5，根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，即可求得答案．
【解析】∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
12．（2020·苏州高新区实验初级中学九年级月考）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离是方程x2-7x+12=0的一个根，则直线l与⊙O的位置关系是__________．
【答案】相交
【分析】先解方程求出解x1=3，x2=4，根据圆心O到直线l的距离相比较即可得到答案．
【解析】∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵点O到直线l距离是方程x²-7x+12=0的一个根，即为3或4，
∴点O到直线l的距离d=3或4，r=5，
∴d＜r
∴直线l与圆相交．
故答案为：相交．
13．（2021·江苏九年级专题练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切.

【答案】3或5
【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【解析】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，

∴PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==3（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF=1cm，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==5（秒）．
故答案为3或5．
14．（2019·江苏扬州市·九年级期中）如图，矩形中，，，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作.当与矩形的边相切时，则的长为__________．

【答案】4
【分析】根据切线的性质和勾股定理即可得到结论．
【解析】当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=32+（9-x）2，
∴x=5，
∴PC=5，
∴BP=BC-PC=9-5=4．
故答案为：4．
15．（2019·无锡市新安中学九年级月考）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．

【答案】
【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值.
【解析】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.

∵A的坐标为（-1,0）
设直线与x轴，y轴分别交于C,D,




在和中




故答案为
16．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
【答案】相离
【分析】根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【解析】圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
17．（2020·浙江绍兴市·九年级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为_____．

【答案】r≥．
【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．
【解析】如图，作CH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，
∴r≥，
故答案为r≥．
18．（2021·全国九年级专题练习）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为___．

【答案】或
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解析】过C作CD⊥AB于D，

在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴，
根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，
∴，
当圆与时AB相切时，r=，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，
故答案为：r=或2＜r≤2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·江苏淮安市·九年级期末）如图，已知点B(0，6)，∠BAO＝30°经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速远动.设它们运动的时间为t秒．
（1）A点的坐标为 ；
（2）用含t的代数式表示点P的坐标;
（3）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问:t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切?并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．

【答案】（1）；（2）（t，6-）（3）当t=或时⊙P和OC相切，t=时⊙P和直线CD相离，当t=时⊙P和直线CD相交．
【分析】（1）根据Rt△OAB中，根据“30°所对的直角边是斜边的一半”，以及利用勾股定理求得点A的坐标；
（2）结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；
（3）此题应分作两种情况考虑：
①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；
②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．
【解析】（1）在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，OB=6，则AB=12，
则：，即：点A的坐标为，
故答案为：；
（2）作PF⊥y轴于F．

∵∠BAO=30°，
∴在Rt△PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
则B′F=，PF=，
又BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-=6-，
则P点的坐标为（t，6-）；
（3）此题应分为两种情况：
①当⊙P和OC第一次相切时，设直线B′P与OC的交点是M，
根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°，
则B′M=OB′=3-，
∵PB′=t，
∴PM=B′M-PB′=3-，
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得：
3-=1，解得：t=，
此时⊙P与直线CD显然相离；
②当⊙P和OC第二次相切时，
则有-3=1，解得：t=，
此时⊙P与直线CD显然相交，
∴当t=或时⊙P和OC相切，t=时⊙P和直线CD相离，当t=时⊙P和直线CD相交．

20．（2020·江苏泰州市·泰兴市实验初级中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）若⊙P与x轴有公共点，直接写出k的取值范围；
（2）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）-3≤k＜0；（2）相交，理由见详解．
【分析】（1）由点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，得k＜0，再由以P为圆心，3为半径作⊙P，可求解；
（2）过点P作PC⊥AB于点C，由题意易得点A、B的坐标，然后由两点距离公式可求k的值，然后根据解直角三角形可求PC的长，进而问题得解．
【解析】（1）由点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，得k＜0，再由以P为圆心，3为半径作⊙P，可得，故k的取值范围为；
（2）⊙P与直线l的位置关系是相交，理由如下：
过点P作PC⊥AB于点C，如图所示：

由直线l：y=－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B两点，可得：，
PA=PB，点P(0,k)，
由两点距离公式可得：，
解得：，
，
OA=4，OB=8，PB=5，
，
，
，
，
⊙P与直线l的位置关系是相交．
21．（2020·泰兴市黄桥初级中学九年级月考）如图，已知△ABC中，∠C=90°．

（1）作一个圆，使圆心O在BC边上，且⊙O与AB、AC所在的直线都相切（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并说明作图的理由；
（2）在（1）的条件下，若AC=4, BC=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）作出∠BAC的角平分线，角平分线与BC的交点O是圆心，以O为圆心，以OC为半径作圆即可；
（2）连接OD，利用勾股定理求解即可．
【解析】
（1）

圆O就是所求的圆．
（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，
∴AD=AC=4，
设⊙O的半径为r，则OB=3-r，
在RT△ABC中，AB=，
∴BD=5-AD=5-4=1，
在RT△BOD中，
OD²+BD²=OB²,即r²+1²=(3-r)²,
解得：r=．

22．（2020·无锡市江南中学九年级二模）已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质作图即可；
（2）先根据勾股定理得出AB的长，再根据S△ABE＝S△AOB＋S△BOE即可得出⊙O的半径．
【解析】（1）如图，点E、O即为所求作点，

（2）设AE＝BE＝x，则CE＝8－x
在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2
x＝5
在Rt△ABC中，AB＝＝
∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE
∴×5×4＝×r＋×5r
∴r＝．
23．（2018·江苏南通市·南通田家炳中学九年级期中）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．

【答案】（1）；（2）51．
【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离；
（2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【解析】（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，

由题意：，，
，，．
，

则由三角形面积公式得，，
，
，
圆心C到直线AB的距离是；
（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是．
则圆C上点到直线的最大距离是，
故面积的最大值是：．
24．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作.

（1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）；
（2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r=．
【分析】（1）根据勾股定理得，从而得r=,进而即可得到答案；
（2）分两种情况：①当与直线相切时，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，分别求出r的范围，即可．
【解析】（1）∵在中，，，，
∴，
∵的中点为点，
∴r=CM==,
∵2＜＜4，
∴点在内，在外，
故答案是：内，外；
（2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB，
∵在Rt中，，
∴r=，
②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4．
综上所述：的取值范围：2＜r≤4或r=．