专题11 线段的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

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专题11  线段的计算（压轴题专项讲练）【典例1】（1）如图，线段AB上有两个点C、D，请计算图中共有多少条线段？（2）如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？（3）拓展应用：8个班级参加学校组织的篮球比赛，比赛采用单循环制（即每两个班级之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？【思路点拨】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1＝6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝（m﹣1）个m＝m（m﹣1），∴x，故该线段上共有条线段；（3）把8个班级看作直线上的8个点，每两个班级之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行28场比赛．  【典例2】如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14．（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度：①当P在AB之间；②当P在A左边；⑧当P在B右边；你发现了什么规律？【思路点拨】（1）根据线段中点的性质，可得MP，NP，根据线段的和，可得答案；（2）①根据线段中点的性质，可得MP，NP，根据线段的和，可得答案；②③分别画图，同理可得MN的长，从而得规律．【解答过程】解：（1）当P在线段AB上，如图1， ∵AP＝8，点M是AP中点，∴MPAP＝4，∵AP＝8，AB＝14，∴BP＝AB﹣AP＝6，又∵点N是PB中点，∴PNPB＝3，∴MN＝MP+PN＝7；（2）①点P在AB之间，∵M是AP的中点，N是PB的中点，∴MPAP，PNPB，∴MN＝PM+PNPAPBAB（x+y）；②点P在AB的延长线上，如图2，∵M是AP的中点，N是PB的中点，∴MPAP，PNPB，∴MN＝PM﹣PNPAPBAB（x+y）；③点P在BA的延长线上，如图3，∵M是AP的中点，N是PB的中点，∴MPAP，PNPB，∴MN＝PN﹣PMPBPAAB（x+y）；发现规律：当P在直线AB上时，MNAB． 1．（2021秋•和平区校级月考）一个正方体锯掉一个角后，剩下的几何体的顶点的个数是（　　）A．7个或8个 B．8个或9个 C．7个或8个或9个或10个 D．7个或8个或9个2．（2020秋•渝中区期末）如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：①图中共有3条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线CD是同一条射线．其中结论正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2020秋•普宁市期末）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（　　）A．6种 B．7种 C．21种 D．42种4．（2020秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）A．A住宅区 B．B住宅区 C．C住宅区 D．B、C住宅区中间D处5．（2021春•松北区期末）如图，点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下列式子不成立的是（　　）A．MN＝GB B． C． D．6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，AB＝30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB＝4NQ；④当BQ＝PB时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．47．（2020秋•潍坊期中）如图所示，若图中共有m条线段，n条射线，则m+n＝　   　．8．（2020秋•海港区校级月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是 　                　．（结果保留π）9．（2021春•东平县期末）如图，已知AB和CD的公共部分BDABCD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，则AB的长是 　     　．10．（2021•青岛二模）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有 　   　个．11．（2020春•萧山区月考）请完成以下问题：（1）如图1，在比较B→A→C与B→C这两条路径的长短时，写出你已学过的基本事实；（2）如图2，试判断B→A→C与B→D→C这两条路径的长短，并说明理由．      12．（2020秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．       13．（2020秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n时，求线段CD的长；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n时，求线段CD的长；（用含a的式子表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长　              　．（用含a和n的式子表示）       14．（2021•建邺区校级开学）如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）．②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．                 15．（2020秋•望城区期末）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点　 　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由                16．（2020秋•奉化区校级期末）已知线段AB上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段AB），并记所有这些线段的长度总和为αAB．例如：图1中，AB＝12，C为AB的中点，则αAB＝AB+AC+CB＝12+6+6＝24．（1）如图2，线段AB上有C、D两点，其中AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，求αAB；（2）如图3，线段AB上有C、D、E三点，其中C为AB的中点，E为DB的中点，且CE＝4，αAB＝64，求AB的长度；（3）线段AB上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若αAB＝38，且CD的长度为奇数，直接写出AB的长度．                   17．（2021•温江区校级开学）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若m＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．                      18．（2020秋•连云港期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝　   　cm；②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．