还剩34页未读，
继续阅读
重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级 上学期 开学数学试卷(word版含答案)
展开
这是一份重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级 上学期 开学数学试卷(word版含答案)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列中国传统文化图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（4分）使函数有意义的自变量的取值范围是
A．且 B． C． D．
3．（4分）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米．0.00000015米用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）若关于的一元二次方程的一个解是，则
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（4分）下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
6．（4分）估计的值在
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
7．（4分）如图，△是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则△的周长与的周长比是
A． B． C． D．
8．（4分）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了千米，再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离与时间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，，，则的长为
A． B． C．4 D．6
10．（4分）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．
11．（4分）如果关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解，则符合条件的所有整数的和为
A． B．0 C．1 D．4
12．（4分）有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：，，7，，，，，，；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算： ．
14．（4分）现有3张分别标有数字：、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点的横坐标，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点的纵坐标，则点落坐标轴上的概率是 ．
15．（4分）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连结．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ．
16．（4分）新年期间，各大超市准备了各种新年礼盒．某超市推出甲、乙、丙三种礼盒，均由、、三种糖果组成．已知每种礼盒的成本分别为盒中、、三种糖果的成本之和，且盒子的成本忽略不计．每盒甲分别装、、三种糖果4斤、2斤、3斤，每盒乙分别装、、三种糖果2斤、4斤、6斤．每盒甲的成本比每盒乙低，每盒乙的利润率为．每盒甲比每盒乙的售价低．每盒丙在成本上提高标价后打八折销售，每盒的获利为每斤成本的3.2倍．当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，则销售的总利润率为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
17．（8分）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：；
（2）化简：．
18．（8分）如图，为矩形的对角线，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是 ，
又，
四边形是菱形．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点，点的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）连结，，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
20．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
，，，，．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
69
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
21．（10分）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动．每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多斤，送出的蔬菜包个数比第一天多个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求的值．
22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据：
23．（10分）如果一个自然数能分解成，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称为“十全九美数”，把分解成的过程称为“全美分解”，例如：
，，，是“十全九美数“；
，，不是“十全九美数”．
（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；
（2）若自然数是“十全九美数“，“全美分解”为，将的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和求和记为；将的十位数字与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，求出所有满足条件的自然数．
24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，，点与点关于轴对称．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，、为直线上两动点，且，求的最小值；
（3）如图2，点为直线上一动点，在直线上是否存在一点，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
（2）如图2，点在上且，求证：；
（3）如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．
2022-2023学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷（详解版）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列中国传统文化图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
2．（4分）使函数有意义的自变量的取值范围是
A．且 B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
3．（4分）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米．0.00000015米用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．（4分）若关于的一元二次方程的一个解是，则
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
5．（4分）下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
【解答】解：．平行四边形的对角相等，
选项不符合题意；
．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
选项不符合题意；
．矩形的对角线相等且互相平分，
选项不符合题意；
．四个内角相等的四边形为矩形，
选项符合题意．
故选：．
6．（4分）估计的值在
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【解答】解：原式
．
，
．
．
故选：．
7．（4分）如图，△是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则△的周长与的周长比是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
△是以点为位似中心经过位似变换得到的，
，△，
△，
，
△的周长与的周长比为，
故选：．
8．（4分）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了千米，再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离与时间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：、乐乐原路原速返回，图象与原来的图象倾斜度相同，所以选项错误；
、休息了一段时间，表明中间有一段图象与横轴平行，所以选项错误；
、休息了一段时间，又沿原路原速返回了千米，由于，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以选项错误；
、先前进了千米，对应的图象为正比例函数图象；休息了一段时间，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了千米，对应的图象为一次函数图象，随的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，随的增大而增大，并且图象更陡，所以选项正确．
故选：．
9．（4分）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，，，则的长为
A． B． C．4 D．6
【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
10．（4分）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．
【解答】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
点，的横坐标分别为1，2，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
与的面积之和为，
，
解得：．
故选：．
11．（4分）如果关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解，则符合条件的所有整数的和为
A． B．0 C．1 D．4
【解答】解：分式方程去分母得：，
解得：，
，
，
关于的分式方程的解为整数，
，0，2，
解不等式组得：，
关于的不等式组有解，
，
解得：，
，0，
，
故符合条件的所有整数的和为．
故选：．
12．（4分）有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：，，7，，，，，，；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：第一次操作后的整式串为：，7，，，，共5个整式，
第一次操作后的整式串的和为：，
第二次操作后的整式串为，，7，，，，，，，共9个整式，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后所有整式的和为：，
第三次操作后整式串为，，，，7，，，7，，，，，，，，，，共17个整式，故②的结论正确，符合题意；
第三次操作后整式串的和为：；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，
即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③结论正确，符合题意；
第次操作后所有整式的积为，
第2021次操作后，所有的整式的和为，
故④的说法正确，不符合题意；
正确的说法有①②③④，共4个．
故选：．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算： 6 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：6．
14．（4分）现有3张分别标有数字：、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点的横坐标，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点的纵坐标，则点落坐标轴上的概率是 ．
【解答】解：列表如下
0
2
0
2
由表知，共有6种等可能结果，其中点落坐标轴上的有4种结果，
所以点落坐标轴上的概率为，
故答案为：．
15．（4分）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连结．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ．
【解答】解：过点作于点，
，
，，，
，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
16．（4分）新年期间，各大超市准备了各种新年礼盒．某超市推出甲、乙、丙三种礼盒，均由、、三种糖果组成．已知每种礼盒的成本分别为盒中、、三种糖果的成本之和，且盒子的成本忽略不计．每盒甲分别装、、三种糖果4斤、2斤、3斤，每盒乙分别装、、三种糖果2斤、4斤、6斤．每盒甲的成本比每盒乙低，每盒乙的利润率为．每盒甲比每盒乙的售价低．每盒丙在成本上提高标价后打八折销售，每盒的获利为每斤成本的3.2倍．当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，则销售的总利润率为 ．
【解答】解：设、、三种糖果的成本分别为，，元斤，
则甲种礼盒的成本为：元盒，
乙种礼盒的成本为：元盒，
每盒甲的成本比每盒乙低，
，
整理得：，
甲种礼盒的成本为：元盒，乙种礼盒的成本为：元盒，
每盒乙的利润率为，
乙的售价为元盒，
每盒甲比每盒乙的售价低，
甲的售价为元盒，
设丙的成本为元盒，则，
解得．
销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为，
设甲、乙、丙三种礼盒的数量分别为，，盒，
销售的总利润率为：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
17．（8分）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）这里，，，
△，
，
解得：，；
（2）原式
．
18．（8分）如图，为矩形的对角线，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是 ，
又，
四边形是菱形．
【解答】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
故答案为：，，，平行四边形，
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点，点的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）连结，，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象经过点且点的纵坐标为，
点的坐标为，
一次函数的图象经过点，点，
，
解得：，，
故一次函数的解析式为；
图象如下：
（2）的面积；
（3）不等式的解集为：或．
20．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
，，，，．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
69
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【解答】解：（1）由题干数据可知，
，
，
七年级等级的学生人数为：（人，等级的学生人数为：（人，
补全条形统计图如图：
答：，；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）
（人．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
21．（10分）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动．每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多斤，送出的蔬菜包个数比第一天多个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求的值．
【解答】解：（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有斤，土豆有斤，
依题意得：，
解得：．
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为1．
22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据：
【解答】解：（1）过点作于点，
，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
海里，
观测站，之间的距离为海里；
（2）补给船能在82分钟之内到达处，
理由：过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
在中，，
海里，
在中，，
海里，
补给船从到处的航行时间（分钟）分钟，
补给船能在83分钟之内到达处．
23．（10分）如果一个自然数能分解成，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称为“十全九美数”，把分解成的过程称为“全美分解”，例如：
，，，是“十全九美数“；
，，不是“十全九美数”．
（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；
（2）若自然数是“十全九美数“，“全美分解”为，将的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和求和记为；将的十位数字与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，求出所有满足条件的自然数．
【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下：
，，，
是“十全九美数”；
，，
不是“十全九美数“；
（2）设的十位数字为，个位数字为，则，
是“十全九美数”， ，
的十位数字为，个位数字为，则，
由题知：，
，
根据题意，令为整数），
由题意知：，，且都为整数，
，，
当时，，
或或，
解得或（舍去）或；
或；
当时，，
，
解得（舍去）；
当时，，
，
解得；
，
综上，满足“十全九美数”条件的有：1564或1914或1164．
24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，，点与点关于轴对称．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，、为直线上两动点，且，求的最小值；
（3）如图2，点为直线上一动点，在直线上是否存在一点，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在可求，，
，
，
，
，
将点代入，
，
解得，
；
（2）点与点关于轴对称，
，
，，
，
，，
，
，
作点关于的对称点，则点在直线上，连接，过点作，过点作，两平行线交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，的长最小，
联立方程组，
解得，
，，
，，
将点沿平移3个单位即为，
，，
，
的最小值为；
（3）存在，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设，，
①当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
②当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
③当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，或，．
25．（10分）在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
（2）如图2，点在上且，求证：；
（3）如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．
【解答】（1）解：，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2中，在上取一点，使得，连接，，延长交于点．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，过点作交于点，连接，于点，在上取一点，使得．
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
的周长，
当的周长最小时，的值最小，
，
，
，
，
点与重合时，与重合，
的面积．
2022-2023学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列中国传统文化图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（4分）使函数有意义的自变量的取值范围是
A．且 B． C． D．
3．（4分）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米．0.00000015米用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）若关于的一元二次方程的一个解是，则
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（4分）下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
6．（4分）估计的值在
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
7．（4分）如图，△是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则△的周长与的周长比是
A． B． C． D．
8．（4分）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了千米，再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离与时间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，，，则的长为
A． B． C．4 D．6
10．（4分）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．
11．（4分）如果关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解，则符合条件的所有整数的和为
A． B．0 C．1 D．4
12．（4分）有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：，，7，，，，，，；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算： ．
14．（4分）现有3张分别标有数字：、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点的横坐标，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点的纵坐标，则点落坐标轴上的概率是 ．
15．（4分）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连结．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ．
16．（4分）新年期间，各大超市准备了各种新年礼盒．某超市推出甲、乙、丙三种礼盒，均由、、三种糖果组成．已知每种礼盒的成本分别为盒中、、三种糖果的成本之和，且盒子的成本忽略不计．每盒甲分别装、、三种糖果4斤、2斤、3斤，每盒乙分别装、、三种糖果2斤、4斤、6斤．每盒甲的成本比每盒乙低，每盒乙的利润率为．每盒甲比每盒乙的售价低．每盒丙在成本上提高标价后打八折销售，每盒的获利为每斤成本的3.2倍．当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，则销售的总利润率为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
17．（8分）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：；
（2）化简：．
18．（8分）如图，为矩形的对角线，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是 ，
又，
四边形是菱形．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点，点的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）连结，，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
20．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
，，，，．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
69
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
21．（10分）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动．每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多斤，送出的蔬菜包个数比第一天多个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求的值．
22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据：
23．（10分）如果一个自然数能分解成，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称为“十全九美数”，把分解成的过程称为“全美分解”，例如：
，，，是“十全九美数“；
，，不是“十全九美数”．
（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；
（2）若自然数是“十全九美数“，“全美分解”为，将的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和求和记为；将的十位数字与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，求出所有满足条件的自然数．
24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，，点与点关于轴对称．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，、为直线上两动点，且，求的最小值；
（3）如图2，点为直线上一动点，在直线上是否存在一点，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
（2）如图2，点在上且，求证：；
（3）如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．
2022-2023学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷（详解版）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列中国传统文化图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
2．（4分）使函数有意义的自变量的取值范围是
A．且 B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
3．（4分）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米．0.00000015米用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．（4分）若关于的一元二次方程的一个解是，则
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
5．（4分）下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
【解答】解：．平行四边形的对角相等，
选项不符合题意；
．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
选项不符合题意；
．矩形的对角线相等且互相平分，
选项不符合题意；
．四个内角相等的四边形为矩形，
选项符合题意．
故选：．
6．（4分）估计的值在
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【解答】解：原式
．
，
．
．
故选：．
7．（4分）如图，△是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则△的周长与的周长比是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
△是以点为位似中心经过位似变换得到的，
，△，
△，
，
△的周长与的周长比为，
故选：．
8．（4分）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了千米，再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离与时间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：、乐乐原路原速返回，图象与原来的图象倾斜度相同，所以选项错误；
、休息了一段时间，表明中间有一段图象与横轴平行，所以选项错误；
、休息了一段时间，又沿原路原速返回了千米，由于，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以选项错误；
、先前进了千米，对应的图象为正比例函数图象；休息了一段时间，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了千米，对应的图象为一次函数图象，随的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，随的增大而增大，并且图象更陡，所以选项正确．
故选：．
9．（4分）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，，，则的长为
A． B． C．4 D．6
【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
10．（4分）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，与的面积之和为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．
【解答】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
点，的横坐标分别为1，2，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
与的面积之和为，
，
解得：．
故选：．
11．（4分）如果关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解，则符合条件的所有整数的和为
A． B．0 C．1 D．4
【解答】解：分式方程去分母得：，
解得：，
，
，
关于的分式方程的解为整数，
，0，2，
解不等式组得：，
关于的不等式组有解，
，
解得：，
，0，
，
故符合条件的所有整数的和为．
故选：．
12．（4分）有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：，，7，，，，，，；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：第一次操作后的整式串为：，7，，，，共5个整式，
第一次操作后的整式串的和为：，
第二次操作后的整式串为，，7，，，，，，，共9个整式，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后所有整式的和为：，
第三次操作后整式串为，，，，7，，，7，，，，，，，，，，共17个整式，故②的结论正确，符合题意；
第三次操作后整式串的和为：；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，
即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③结论正确，符合题意；
第次操作后所有整式的积为，
第2021次操作后，所有的整式的和为，
故④的说法正确，不符合题意；
正确的说法有①②③④，共4个．
故选：．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算： 6 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：6．
14．（4分）现有3张分别标有数字：、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点的横坐标，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点的纵坐标，则点落坐标轴上的概率是 ．
【解答】解：列表如下
0
2
0
2
由表知，共有6种等可能结果，其中点落坐标轴上的有4种结果，
所以点落坐标轴上的概率为，
故答案为：．
15．（4分）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连结．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ．
【解答】解：过点作于点，
，
，，，
，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
16．（4分）新年期间，各大超市准备了各种新年礼盒．某超市推出甲、乙、丙三种礼盒，均由、、三种糖果组成．已知每种礼盒的成本分别为盒中、、三种糖果的成本之和，且盒子的成本忽略不计．每盒甲分别装、、三种糖果4斤、2斤、3斤，每盒乙分别装、、三种糖果2斤、4斤、6斤．每盒甲的成本比每盒乙低，每盒乙的利润率为．每盒甲比每盒乙的售价低．每盒丙在成本上提高标价后打八折销售，每盒的获利为每斤成本的3.2倍．当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，则销售的总利润率为 ．
【解答】解：设、、三种糖果的成本分别为，，元斤，
则甲种礼盒的成本为：元盒，
乙种礼盒的成本为：元盒，
每盒甲的成本比每盒乙低，
，
整理得：，
甲种礼盒的成本为：元盒，乙种礼盒的成本为：元盒，
每盒乙的利润率为，
乙的售价为元盒，
每盒甲比每盒乙的售价低，
甲的售价为元盒，
设丙的成本为元盒，则，
解得．
销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为，
设甲、乙、丙三种礼盒的数量分别为，，盒，
销售的总利润率为：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
17．（8分）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）这里，，，
△，
，
解得：，；
（2）原式
．
18．（8分）如图，为矩形的对角线，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是 ，
又，
四边形是菱形．
【解答】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，．
平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
故答案为：，，，平行四边形，
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点，点的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）连结，，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象经过点且点的纵坐标为，
点的坐标为，
一次函数的图象经过点，点，
，
解得：，，
故一次函数的解析式为；
图象如下：
（2）的面积；
（3）不等式的解集为：或．
20．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
，，，，．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
69
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【解答】解：（1）由题干数据可知，
，
，
七年级等级的学生人数为：（人，等级的学生人数为：（人，
补全条形统计图如图：
答：，；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）
（人．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
21．（10分）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动．每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多斤，送出的蔬菜包个数比第一天多个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求的值．
【解答】解：（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有斤，土豆有斤，
依题意得：，
解得：．
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为1．
22．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据：
【解答】解：（1）过点作于点，
，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
海里，
观测站，之间的距离为海里；
（2）补给船能在82分钟之内到达处，
理由：过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
在中，，
海里，
在中，，
海里，
补给船从到处的航行时间（分钟）分钟，
补给船能在83分钟之内到达处．
23．（10分）如果一个自然数能分解成，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称为“十全九美数”，把分解成的过程称为“全美分解”，例如：
，，，是“十全九美数“；
，，不是“十全九美数”．
（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；
（2）若自然数是“十全九美数“，“全美分解”为，将的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和求和记为；将的十位数字与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，求出所有满足条件的自然数．
【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下：
，，，
是“十全九美数”；
，，
不是“十全九美数“；
（2）设的十位数字为，个位数字为，则，
是“十全九美数”， ，
的十位数字为，个位数字为，则，
由题知：，
，
根据题意，令为整数），
由题意知：，，且都为整数，
，，
当时，，
或或，
解得或（舍去）或；
或；
当时，，
，
解得（舍去）；
当时，，
，
解得；
，
综上，满足“十全九美数”条件的有：1564或1914或1164．
24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，，点与点关于轴对称．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，、为直线上两动点，且，求的最小值；
（3）如图2，点为直线上一动点，在直线上是否存在一点，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在可求，，
，
，
，
，
将点代入，
，
解得，
；
（2）点与点关于轴对称，
，
，，
，
，，
，
，
作点关于的对称点，则点在直线上，连接，过点作，过点作，两平行线交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，的长最小，
联立方程组，
解得，
，，
，，
将点沿平移3个单位即为，
，，
，
的最小值为；
（3）存在，使以、、、四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设，，
①当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
②当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
③当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，或，．
25．（10分）在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
（2）如图2，点在上且，求证：；
（3）如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．
【解答】（1）解：，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2中，在上取一点，使得，连接，，延长交于点．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，过点作交于点，连接，于点，在上取一点，使得．
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
的周长，
当的周长最小时，的值最小，
，
，
，
，
点与重合时，与重合，
的面积．
相关试卷
重庆市重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级上学期+开学自主学习检查数学试题： 这是一份重庆市重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级上学期+开学自主学习检查数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度重庆市沙坪坝区第一中学校九年级上学期开学数学试题： 这是一份2022-2023学年度重庆市沙坪坝区第一中学校九年级上学期开学数学试题，文件包含重庆市沙坪坝区第一中学校九年级上学期开学数学试题原卷版docx、重庆市沙坪坝区第一中学校九年级上学期开学数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级上学期开学数学试题： 这是一份重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级上学期开学数学试题，文件包含重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级上学期开学数学试题解析版docx、重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年九年级上学期开学数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
